Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni: Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf regularny: |E| = n·k/2
Drzewo i las: |E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w K_n: (n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L: (Mᴸ)_ij

Metoda

Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n/2) + O(1)?

AO(1)
BO(n)
CO(n log n)
DO(log n)

2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czy 2²ⁿ należy do O(2ⁿ)?

ANie, bo 2²ⁿ rośnie wolniej niż 2ⁿ
BTak, bo stałe czynniki w wykładniku zawsze się pomija w notacji dużego O
CTak, bo obie funkcje są wykładnicze
DNie, bo 2²ⁿ = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie

3.Struktury danychŚredni

Klucze 50, 30, 70, 20, 40 wstawia się w tej kolejności do pustego binarnego drzewa poszukiwań. Co jest lewym dzieckiem 30?

4.Struktury danychTrudny

Jaki jest pesymistyczny koszt pojedynczej operacji find w strukturze union-find z n elementami bez łączenia według rangi (union by rank) i bez kompresji ścieżek?

AO(1)
BO(α(n))
CO(log n)
DO(n)

5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K₄? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K₄

H =

6.Teoria grafówTrudny

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F

d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem zmniejsza się o połowę w każdym kroku przy stałej pracy na krok, więc kroków jest około log₂ n.

Odpowiedź

D · O(log n)

2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Nie, bo 2²ⁿ = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie

Dlaczego to jest odpowiedź

Stała dodana do wykładnika daje stały czynnik, ale stała mnożąca wykładnik zmienia podstawę i tempo wzrostu.

Odpowiedź

D · Nie, bo 2²ⁿ = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie

3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 20

Dlaczego to jest odpowiedź

20 jest mniejsze od 50 i mniejsze od 30, więc zostaje lewym dzieckiem 30; 40 zostaje jego prawym dzieckiem.

Odpowiedź

B · 20

4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Naiwne łączenie może połączyć drzewa w długi łańcuch, więc find może przejść n − 1 wskaźników do rodziców; obie heurystyki sprowadzają koszt niemal do stałego.

Odpowiedź

D · O(n)

5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 3

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; K_n ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Odpowiedź

H = 3

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 13

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 9, C: 7

C (7): E: 9

B (9): D: 12

E (9): F: 13

D (12)

F (13)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → F

d(F) = 13

Odpowiedź

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms