Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego w notacji dużego O zwykle pomija się podstawę logarytmu, jak w O(log n)?

  1. APodstawa ma znaczenie tylko dla małych n
  2. BWszystkie logarytmy w informatyce mają podstawę 10, więc jest ona domyślna
  3. CLogarytmy zawsze zaokrągla się do liczb całkowitych
  4. DLogarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o notacji małego o jest poprawne?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), ale n nie jest o(n)
  3. Cn = o(n), bo każda funkcja jest małym o samej siebie
  4. D2n = o(n), bo 2n rośnie wolno
3.Struktury danychŚredni

Klucze 50, 30, 70, 20, 40 wstawia się w tej kolejności do pustego binarnego drzewa poszukiwań. Co jest lewym dzieckiem 30?

  1. A40
  2. B70
  3. C20
  4. D50
4.Struktury danychTrudny

Obiekt jest przechowywany jako klucz w mapie mieszającej, a następnie zmienia się pole używane przez jego funkcję mieszającą. Jaki jest prawdopodobny skutek?

  1. ANic się nie zmienia, bo skrót klucza oblicza się tylko raz przy uruchomieniu programu
  2. BWyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
  3. CMapa zgłasza błąd w chwili zmiany pola
  4. DMapa automatycznie przenosi klucz do nowego kubełka
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
910181213111ABCDE

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmiana podstawy mnoży logarytm przez stałą, a duże O pomija stałe czynniki.

Odpowiedź

D · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · n = o(n²), ale n nie jest o(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

f = o(g) oznacza, że f(n) / g(n) dąży do 0; n / n² dąży do 0, ale n / n = 1 nie.

Odpowiedź

B · n = o(n²), ale n nie jest o(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · 20

Dlaczego to jest odpowiedź

20 jest mniejsze od 50 i mniejsze od 30, więc zostaje lewym dzieckiem 30; 40 zostaje jego prawym dzieckiem.

Odpowiedź

C · 20
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Położenie klucza wybrano na podstawie jego starego skrótu; przy nowym skrócie wyszukiwanie przeszukuje niewłaściwy kubełek, więc klucze powinny być niezmienne.

Odpowiedź

B · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź AC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. BE (1)
2. AB (9)
3. AC (10)
4. DE (11)

numer krawędzi 3

AC

Odpowiedź

krawędź AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms