Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Który algorytm znajduje najkrótsze ścieżki z jednego źródła w grafie o nieujemnych wagach krawędzi?

  1. AWe wszystkich przypadkach wymagany jest algorytm Bellmana–Forda
  2. BPrzeszukiwanie w głąb (DFS)
  3. CAlgorytm Kruskala
  4. DAlgorytm Dijkstry
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czym różni się problem nierozstrzygalny od problemu praktycznie nierozwiązywalnego?

  1. AProblemy nierozstrzygalne należą do NP, a praktycznie nierozwiązywalne do P
  2. BProblem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
  3. COba oznaczają, że problem w ogóle nie ma algorytmu
  4. DProblemów praktycznie nierozwiązywalnych nie rozwiąże żaden algorytm, a nierozstrzygalne wymagają tylko czasu wykładniczego
3.Struktury danychŚredni

Sieć drogowa ma 100 000 skrzyżowań, z których każde łączy się z około 4 innymi. Która reprezentacja jest najodpowiedniejsza?

  1. AKopiec binarny krawędzi
  2. BMacierz sąsiedztwa
  3. CJedna posortowana tablica wierzchołków
  4. DListy sąsiedztwa
4.Struktury danychTrudny

Ile trwa wyszukanie dowolnego klucza w binarnym kopcu minimalnym o n elementach?

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
15741562168ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 3; sam A to runda 1.

start: Arunda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Algorytm Dijkstry

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Dijkstry działa dla wag nieujemnych; algorytm Bellmana–Forda obsługuje wagi ujemne; algorytm Kruskala buduje minimalne drzewa rozpinające.

Odpowiedź

D · Algorytm Dijkstry
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem stopu nie ma żadnego algorytmu; problem NP-trudny, taki jak TSP, można rozwiązać siłą brutalną, tylko nie w znanym czasie wielomianowym.

Odpowiedź

B · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Listy sąsiedztwa

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz wymagałaby 1010 komórek, prawie wszystkich pustych; listy sąsiedztwa przechowują tylko około 400 000 wpisów krawędzi.

Odpowiedź

D · Listy sąsiedztwa
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiec nie daje reguły, które poddrzewo zawiera klucz, więc w najgorszym przypadku trzeba sprawdzić wszystkie węzły; szybko można znaleźć tylko minimum.

Odpowiedź

D · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 1

Wierzchołki nieparzyste

A, D, F, G → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: B

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 15, C: 7
2. C (7): B: 11, G: 13
3. B (11): D: 26, G: 12
4. G (12): D: 20
5. D (20): E: 26
6. E (26): F: 28
7. F (28)

runda 3

B

Odpowiedź

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms