Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa algorytmu Bellmana–Forda dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(E log V)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak porównują się n! i 2ⁿ dla dużych n?

  1. An! rośnie szybciej niż 2ⁿ
  2. BRosną w tym samym tempie
  3. C2ⁿ rośnie szybciej niż n!
  4. Dn! jest O(n²)
3.Struktury danychŚredni

Drzewo binarne ma korzeń 1 z lewym dzieckiem 2 i prawym dzieckiem 3; węzeł 2 ma dzieci 4 (lewe) i 5 (prawe). Jaki jest wynik przejścia preorder?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 3 4 5
  4. D1 2 4 5 3
4.Struktury danychTrudny

Jak wykryć, czy lista jednokierunkowa zawiera cykl, używając O(1) dodatkowej pamięci?

  1. AZapisywać każdy odwiedzony węzeł w zbiorze mieszającym
  2. BPrzesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
  3. CPosortować listę i szukać duplikatów
  4. DLiczyć węzły, aż liczba przekroczy pole z długością listy
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
7171215610191816ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(V × E)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda z V − 1 rund relaksuje wszystkie E krawędzi, co daje O(VE); w zamian algorytm obsługuje ujemne wagi krawędzi.

Odpowiedź

B · O(V × E)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla n ≥ 4 n! przekracza 2ⁿ, a iloraz rośnie nieograniczenie, bo każdy kolejny czynnik n! jest większy niż 2.

Odpowiedź

A · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · 1 2 4 5 3

Dlaczego to jest odpowiedź

Preorder odwiedza 1, potem jego lewe poddrzewo (2, 4, 5), potem 3; pozostałe odpowiedzi to inorder, postorder i przejście poziomami.

Odpowiedź

D · 1 2 4 5 3
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają

Dlaczego to jest odpowiedź

W algorytmie Floyda, jeśli jest cykl, szybki wskaźnik w końcu dogania wolny; w przeciwnym razie szybki wskaźnik dochodzi do null.

Odpowiedź

B · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 68

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

DF (6): weź
AB (7): weź
GB (10): weź
BC (12): weź
CE (15): weź
GE (16): pomiń, zamyka cykl
AC (17): pomiń, zamyka cykl
GD (18): weź

Łączna waga

W = 6 + 7 + 10 + 12 + 15 + 18 = 68

Odpowiedź

W = 68

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms