Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czym różni się problem nierozstrzygalny od problemu praktycznie nierozwiązywalnego?

  1. AOba oznaczają, że problem w ogóle nie ma algorytmu
  2. BProblem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
  3. CProblemów praktycznie nierozwiązywalnych nie rozwiąże żaden algorytm, a nierozstrzygalne wymagają tylko czasu wykładniczego
  4. DProblemy nierozstrzygalne należą do NP, a praktycznie nierozwiązywalne do P
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest koszt wstawienia elementu w środek tablicy o n elementach?

  1. AO(log n), z powodu wyszukiwania binarnego
  2. BO(n²), bo każdy element przesuwa się n razy
  3. CO(1), bo indeks jest znany
  4. DO(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest oczekiwany czas wyszukiwania przy prostym równomiernym haszowaniu w tablicy mieszającej z metodą łańcuchową, n kluczami i m kubełkami?

  1. AO(n)
  2. BO(m)
  3. CO(log n)
  4. DO(1 + α), gdzie α = n / m
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
641512646613ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Praca sumuje się do około n² / 2; to rekurencja sortowania przez wybieranie lub quicksorta z najgorszym elementem osiowym.

Odpowiedź

A · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem stopu nie ma żadnego algorytmu; problem NP-trudny, taki jak TSP, można rozwiązać siłą brutalną, tylko nie w znanym czasie wielomianowym.

Odpowiedź

B · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie elementy za miejscem wstawienia przesuwają się o jedną pozycję w prawo, co zajmuje czas proporcjonalny do n.

Odpowiedź

D · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(1 + α), gdzie α = n / m

Dlaczego to jest odpowiedź

Obliczenie funkcji mieszającej kosztuje O(1), a oczekiwana długość łańcucha to α, więc utrzymywanie ograniczonego α przez zmianę rozmiaru daje oczekiwany czas O(1).

Odpowiedź

D · O(1 + α), gdzie α = n / m
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 14

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

Odpowiedź

L = 14

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 27

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 6
B (6): C: 10, D: 21, G: 12
C (10)
G (12): E: 25
D (21): F: 27
E (25)
F (27)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 27

Odpowiedź

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms