Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile poziomów ma rekurencja sortowania przez scalanie dla tablicy n elementów?

  1. AOkoło n / 2
  2. BOkoło √n
  3. COkoło log₂ n
  4. DOkoło n
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest zamortyzowany koszt inkrementacji licznika binarnego, skoro jedna inkrementacja może zmienić wiele bitów?

  1. AO(n log n) na inkrementację
  2. BO(n) na inkrementację
  3. CO(1) na inkrementację
  4. DO(log n) na inkrementację
3.Struktury danychŚredni

Co się dzieje, gdy tablica mieszająca wykonuje rehashing po przekroczeniu progu współczynnika zapełnienia?

  1. ATylko kolidujące klucze są przenoszone na nową listę nadmiarową na końcu tablicy
  2. BNajstarsze klucze są usuwane, by zrobić miejsce
  3. CAlokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
  4. DIstniejące klucze są sortowane w miejscu
4.Struktury danychTrudny

Jaką gwarancję co do wysokości drzewa z n kluczami dają reguły drzewa czerwono-czarnego?

  1. AWysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
  2. BWysokość wynosi dokładnie log2 n
  3. CWysokość wynosi co najwyżej n / 2
  4. DWysokość wynosi co najwyżej log2 n + 1
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 15, liczba krawędzi 23. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 15|E| = 23
k =
6.Teoria grafówTrudny
3152133143946ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 6; sam A to runda 1.

start: Arunda 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Około log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowienie od n do 1 wymaga około log₂ n poziomów, a każdy poziom wykonuje O(n) pracy scalania, co daje O(n log n).

Odpowiedź

C · Około log₂ n
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(1) na inkrementację

Dlaczego to jest odpowiedź

W ciągu n inkrementacji bit i zmienia się około n / 2ⁱ razy, więc łącznie jest mniej niż 2n zmian, średnio O(1) na inkrementację.

Odpowiedź

C · O(1) na inkrementację
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ indeks oblicza się modulo rozmiar tablicy, wszystkie klucze trzeba ponownie zahaszować do nowej, większej tablicy; przy podwajaniu koszt zamortyzowany pozostaje O(1).

Odpowiedź

C · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda ścieżka ma tyle samo czarnych węzłów, a czerwone węzły nie mogą sąsiadować, więc najdłuższa ścieżka jest co najwyżej dwa razy dłuższa od najkrótszej, co daje wysokość O(log n).

Odpowiedź

A · Wysokość wynosi co najwyżej 2 log2(n + 1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 9

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

15 − 1 = 14

Krawędzie do usunięcia

k = 23 − 14 = 9

Odpowiedź

k = 9
6.Teoria grafów

Odpowiedź: C

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 3, C: 15
2. B (3): D: 5, G: 6
3. D (5): E: 8, F: 19
4. G (6)
5. E (8)
6. C (15)
7. F (19)

runda 6

C

Odpowiedź

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms