Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa obliczania n-tej liczby Fibonacciego za pomocą tablicy wypełnianej wstępująco (bottom-up)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie topologiczne jest możliwe tylko dla:

  1. AGrafów z ujemnymi wagami
  2. BSkierowanych grafów acyklicznych
  3. CGrafów nieskierowanych
  4. DGrafów pełnych
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest koszt wstawienia elementu w środek tablicy o n elementach?

  1. AO(1), bo indeks jest znany
  2. BO(n²), bo każdy element przesuwa się n razy
  3. CO(log n), z powodu wyszukiwania binarnego
  4. DO(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danychTrudny

Usunięcie węzła z dwojgiem dzieci z binarnego drzewa poszukiwań wykonuje się zwykle przez:

  1. AZastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła
  2. BZbudowanie od nowa poddrzewa poniżej węzła i ponowne wstawienie wszystkich zawartych w nim kluczy
  3. CZamianę go z korzeniem
  4. DUsunięcie całego poddrzewa
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 7, liczba krawędzi 12. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 7|E| = 12
k =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w A? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wypełnienie tablicy od 0 do n wymaga jednego dodawania na element, więc praca jest liniowa zamiast wykładniczej.

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Skierowanych grafów acyklicznych

Dlaczego to jest odpowiedź

Porządek topologiczny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy graf skierowany nie ma cykli; można go znaleźć w czasie O(V + E) za pomocą DFS lub algorytmu Kahna.

Odpowiedź

B · Skierowanych grafów acyklicznych
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie elementy za miejscem wstawienia przesuwają się o jedną pozycję w prawo, co zajmuje czas proporcjonalny do n.

Odpowiedź

D · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła

Dlaczego to jest odpowiedź

Następnik in-order ma co najwyżej jedno dziecko, więc można go łatwo usunąć po skopiowaniu jego klucza do usuwanego węzła.

Odpowiedź

A · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 6

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

7 − 1 = 6

Krawędzie do usunięcia

k = 12 − 6 = 6

Odpowiedź

k = 6
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)AA = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms