Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Czy poprawne jest stwierdzenie, że algorytm O(n²) jest też O(n³)?

  1. ANie, bo duże O musi zawsze podawać dokładne tempo wzrostu funkcji
  2. BNie, bo dla dużych n wartość n³ jest mniejsza niż n²
  3. CTak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
  4. DTak, ale tylko gdy n jest mniejsze niż 100
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. AJest nierozstrzygalny
  2. BWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
  3. CWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
  4. DNależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
3.Struktury danychŚredni

Drzewo binarne ma korzeń 1 z lewym dzieckiem 2 i prawym dzieckiem 3; węzeł 2 ma dzieci 4 (lewe) i 5 (prawe). Jaki jest wynik przejścia postorder?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D5 4 3 2 1
4.Struktury danychTrudny

Która własność sprawia, że każde B-drzewo jest idealnie zrównoważone?

  1. AKlucze są przechowywane tylko w korzeniu
  2. BKażdy węzeł ma dokładnie dwoje dzieci
  3. CWszystkie liście są na tej samej głębokości
  4. DKażdy węzeł przechowuje jeden klucz
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 16, liczba krawędzi 26. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 16|E| = 26
k =
6.Teoria grafówTrudny
193131710181187ABCDEFG

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka B. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 4.

start: Bk = 4
  1. 1krawędź AC
  2. 2krawędź BD
  3. 3krawędź CE
  4. 4krawędź DE
  5. 5krawędź DF
  6. 6krawędź EF
  7. 7krawędź GB
  8. 8krawędź GD
  9. 9krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³

Dlaczego to jest odpowiedź

Duże O to ograniczenie górne, więc stwierdzenie jest prawdziwe, ale nie dokładne; dokładne tempo wzrostu podaje Θ(n²).

Odpowiedź

C · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

B · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 4 5 2 3 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Postorder przetwarza 4 i 5 przed 2, potem 3, a na końcu korzeń 1.

Odpowiedź

B · 4 5 2 3 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Wszystkie liście są na tej samej głębokości

Dlaczego to jest odpowiedź

Pełne węzły dzielą się w górę, a drzewo staje się wyższe tylko przy podziale korzenia, więc wszystkie liście zawsze pozostają na tym samym poziomie.

Odpowiedź

C · Wszystkie liście są na tej samej głębokości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

16 − 1 = 15

Krawędzie do usunięcia

k = 26 − 15 = 11

Odpowiedź

k = 11
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź DF

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. BD (3)
2. GD (8)
3. GE (7)
4. DF (10)
5. CE (13)
6. AC (19)

numer krawędzi 4

DF

Odpowiedź

krawędź DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms