Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Programowanie dynamiczne jest przydatne, gdy problem ma:

  1. APojedynczą pętlę
  2. BNakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
  3. CWyłącznie losowe dane wejściowe
  4. DŻadnych podproblemów, więc można go rozwiązać w jednym kroku
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. AJest nierozstrzygalny
  2. BWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
  3. CNależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
  4. DWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danychŚredni

Masz referencję do węzła w środku listy. W której liście możesz go usunąć w O(1)?

  1. AW liście jednokierunkowej
  2. BW liście dwukierunkowej
  3. CW tablicy dynamicznej
  4. DW posortowanej tablicy
4.Struktury danychTrudny

Do czego służy struktura union-find w algorytmie Kruskala wyznaczania minimalnego drzewa rozpinającego?

  1. ADo przechowywania bieżącej odległości każdego wierzchołka od źródła w trakcie przeszukiwania
  2. BDo sortowania krawędzi według wag
  3. CDo sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
  4. DDo wyboru wierzchołka początkowego
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
191551416131119ABCDEFG

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka D. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2.

start: Dk = 2
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź BC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź DE
  5. 5krawędź DF
  6. 6krawędź EF
  7. 7krawędź GB
  8. 8krawędź GC
  9. 9krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę

Dlaczego to jest odpowiedź

Zapamiętywanie wyników nakładających się podproblemów (memoizacja lub tablicowanie) pozwala uniknąć powtarzania pracy, zamieniając algorytmy wykładnicze w wielomianowe.

Odpowiedź

B · Nakładające się podproblemy i optymalną podstrukturę
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

D · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · W liście dwukierunkowej

Dlaczego to jest odpowiedź

Węzeł listy dwukierunkowej zna swojego poprzednika, więc można bezpośrednio połączyć prev z next; w liście jednokierunkowej trzeba szukać poprzednika.

Odpowiedź

B · W liście dwukierunkowej
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone

Dlaczego to jest odpowiedź

Find mówi, czy oba końce są w tej samej składowej; jeśli nie, krawędź zostaje dodana, a union łączy składowe.

Odpowiedź

C · Do sprawdzania, czy oba końce krawędzi są już połączone
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź GB

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. BD (5)
2. GB (11)
3. GC (1)
4. GE (9)
5. EF (13)
6. AB (19)

numer krawędzi 2

GB

Odpowiedź

krawędź GB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms