Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest zamortyzowana złożoność czasowa dodawania elementu na koniec tablicy dynamicznej, która podwaja swoją pojemność, gdy się zapełni?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest czas działania algorytmu Dijkstry z kopcem binarnym dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³)
3.Struktury danychŚredni

W binarnym kopcu minimalnym przechowywanym w tablicy (indeksowanie od 0) dzieci węzła o indeksie i znajdują się na pozycjach:

  1. Ai + 1 i i + 2
  2. Bi/2 i i/2 + 1
  3. C2i + 1 i 2i + 2
  4. D2i i 2i + 1
4.Struktury danychTrudny

Czym drzewo radix (skompresowane trie) przewyższa zwykłe trie?

  1. APrzechowuje każde słowo w tablicy mieszającej w korzeniu zamiast w osobnych węzłach
  2. BŁączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
  3. CSortuje dzieci każdego węzła według częstości
  4. DZachowuje tylko pierwszą literę każdego słowa
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K6? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K6
H =
6.Teoria grafówTrudny
16518111231314197ABCDEFG

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 4; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 4
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź EF
  7. 7krawędź GB
  8. 8krawędź GC
  9. 9krawędź GD
  10. 10krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiowanie wszystkich elementów następuje tylko przy potęgach dwójki; po rozłożeniu na wszystkie operacje dodawania średni koszt jednej operacji jest stały.

Odpowiedź

B · O(1)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O((V + E) log V)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest V operacji pobrania minimum i do E operacji zmniejszenia klucza, każda O(log V); kopiec Fibonacciego poprawia to do O(E + V log V).

Odpowiedź

A · O((V + E) log V)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · 2i + 1 i 2i + 2

Dlaczego to jest odpowiedź

W tablicach indeksowanych od 0 lewe dziecko jest pod 2i + 1, prawe pod 2i + 2, a rodzic pod ⌊(i − 1)/2⌋.

Odpowiedź

C · 2i + 1 i 2i + 2
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków

Dlaczego to jest odpowiedź

Zwinięcie ścieżek bez rozgałęzień zmniejsza liczbę węzłów i zużycie pamięci przy zachowaniu wyszukiwania po prefiksie.

Odpowiedź

B · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź CE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. EF (3)
2. AC (5)
3. GE (7)
4. CE (11)
5. DE (12)
6. GB (13)

numer krawędzi 4

CE

Odpowiedź

krawędź CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms