Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Przeszukiwanie wszerz w grafie nieważonym znajduje:

  1. APorządek topologiczny w dowolnym grafie
  2. BNajkrótsze ścieżki w grafach zawierających ujemne wagi krawędzi
  3. CNajkrótsze ścieżki (w liczbie krawędzi) od wierzchołka startowego
  4. DMinimalne drzewo rozpinające
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie przez wstawianie działa w O(n) dla danych posortowanych. Czy to przeczy dolnemu ograniczeniu Ω(n log n) dla sortowania przez porównania?

  1. ANie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
  2. BTak, więc dolne ograniczenie jest błędne
  3. CNie, bo sortowanie przez wstawianie nie jest sortowaniem przez porównania
  4. DTak, ale tylko dla tablic krótszych niż 100
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego przechodzenie tablicy jest w praktyce często znacznie szybsze niż przechodzenie listy wiązanej o tej samej długości?

  1. AListy wiązane zawsze przechowują elementy na dysku
  2. BElementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
  3. CPrzejście tablicy ma łącznie złożoność O(1), a listy wiązanej O(n)
  4. DTablice wymagają mniej instrukcji do porównania wartości
4.Struktury danychTrudny

Jaka jest główna zaleta listy z przeskokami (skip list) nad posortowaną listą wiązaną?

  1. AGwarantowane wyszukiwanie w O(1), bo każdy węzeł przechowuje wskaźnik do każdego innego węzła
  2. BPrzechowuje klucze bez uporządkowania
  3. COczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
  4. DNie zużywa dodatkowej pamięci
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 13, liczba krawędzi 23. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 13|E| = 23
k =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w D? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Najkrótsze ścieżki (w liczbie krawędzi) od wierzchołka startowego

Dlaczego to jest odpowiedź

BFS odwiedza wierzchołki w kolejności odległości (w krawędziach) od źródła, więc znajduje najkrótsze ścieżki w grafie nieważonym w czasie O(V + E).

Odpowiedź

C · Najkrótsze ścieżki (w liczbie krawędzi) od wierzchołka startowego
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Ograniczenie mówi, że każde sortowanie przez porównania wymaga około n log n porównań dla pewnych danych rozmiaru n; szczególne dane mogą być przetwarzane znacznie szybciej.

Odpowiedź

A · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora

Dlaczego to jest odpowiedź

Ciągła pamięć zapewnia dobrą lokalność odwołań, a połączone węzły mogą być rozproszone i powodować wiele chybień w pamięci podręcznej.

Odpowiedź

B · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowane poziomy pozwalają przeskakiwać wiele węzłów podczas wyszukiwania, co daje oczekiwaną złożoność O(log n) dla wyszukiwania, wstawiania i usuwania.

Odpowiedź

C · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

13 − 1 = 12

Krawędzie do usunięcia

k = 23 − 12 = 11

Odpowiedź

k = 11
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 2

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Odpowiedź

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms