Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Złożoność czasowa naiwnego rekurencyjnego obliczania ciągu Fibonacciego (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) jest:

  1. AWykładnicza
  2. BLiniowa
  3. CStała
  4. DLogarytmiczna
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem jest NP-zupełny, jeśli:

  1. ANależy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
  2. BLeży poza NP, ale jest trudniejszy od wszystkich problemów NP, jak problem stopu
  3. CNie da się go rozwiązać
  4. DDa się go rozwiązać w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. ANieposortowana lista wiązana
  2. BTablica mieszająca
  3. CZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
  4. DStos
4.Struktury danychTrudny

W BST z korzeniem 50, lewym poddrzewem 30 (dzieci 20, 40) i prawym poddrzewem 70 (dzieci 60, 80) usuwa się korzeń przy użyciu następnika w porządku inorder. Który klucz zostaje nowym korzeniem?

  1. A80
  2. B60
  3. C40
  4. D70
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1110116435128ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Wykładnicza

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo wywołań rośnie mniej więcej jak φⁿ (około 1,618ⁿ). Memoizacja redukuje złożoność do O(n).

Odpowiedź

A · Wykładnicza
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Problemy NP-zupełne są najtrudniejsze w NP; wielomianowy algorytm dla jednego z nich dałby wielomianowy algorytm dla całej klasy NP.

Odpowiedź

A · Należy do NP i każdy problem z NP sprowadza się do niego w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

C · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · 60

Dlaczego to jest odpowiedź

Skrajnie lewy węzeł prawego poddrzewa to 60, więc 60 zastępuje 50, a jego dawna pozycja zostaje usunięta; użycie poprzednika dałoby 40.

Odpowiedź

B · 60
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, C, D, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 32

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

DE (1): weź
GB (3): weź
EF (4): weź
GC (5): weź
GE (8): weź
CE (10): pomiń, zamyka cykl
AB (11): weź

Łączna waga

W = 1 + 3 + 4 + 5 + 8 + 11 = 32

Odpowiedź

W = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms