Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Czy poprawne jest stwierdzenie, że algorytm O(n²) jest też O(n³)?

  1. ANie, bo dla dużych n wartość n³ jest mniejsza niż n²
  2. BTak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
  3. CNie, bo duże O musi zawsze podawać dokładne tempo wzrostu funkcji
  4. DTak, ale tylko gdy n jest mniejsze niż 100
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który z tych problemów spełnialności jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym?

  1. AOgólny SAT dla formuł w koniunkcyjnej postaci normalnej
  2. B3-SAT, w którym każda klauzula ma dokładnie trzy literały
  3. C2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
  4. DSpełnialność układów logicznych (circuit SAT)
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa działający program do śledzenia aktywnych wywołań funkcji i ich zmiennych lokalnych?

  1. ATablicy mieszającej funkcji
  2. BStosu wywołań
  3. CBinarnego drzewa poszukiwań ramek
  4. DKolejki pamięci sterty
4.Struktury danychTrudny

Ile trwa wyszukanie dowolnego klucza w binarnym kopcu minimalnym o n elementach?

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 34 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
1433931061ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 3; sam A to runda 1.

start: Arunda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³

Dlaczego to jest odpowiedź

Duże O to ograniczenie górne, więc stwierdzenie jest prawdziwe, ale nie dokładne; dokładne tempo wzrostu podaje Θ(n²).

Odpowiedź

B · Tak, bo duże O to ograniczenie górne, a n² nie rośnie szybciej niż n³
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały

Dlaczego to jest odpowiedź

2-SAT należy do P (czas liniowy dzięki silnie spójnym składowym), a 3-SAT jest NP-zupełny.

Odpowiedź

C · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Stosu wywołań

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde wywołanie odkłada ramkę stosu, a każdy powrót ją zdejmuje, dlatego najpóźniejsze wywołanie kończy się jako pierwsze.

Odpowiedź

B · Stosu wywołań
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiec nie daje reguły, które poddrzewo zawiera klucz, więc w najgorszym przypadku trzeba sprawdzić wszystkie węzły; szybko można znaleźć tylko minimum.

Odpowiedź

A · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 16

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 32 = 2(L + 9) − 2
L = 16

Odpowiedź

L = 16

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: E

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 14, C: 3
2. C (3): E: 12
3. E (12): D: 15, F: 18, B: 13
4. B (13)
5. D (15)
6. F (18)

runda 3

E

Odpowiedź

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms