Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni: Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf regularny: |E| = n·k/2
Drzewo i las: |E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w K_n: (n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L: (Mᴸ)_ij

Metoda

Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n²)

2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co trzeba zrobić, aby wykazać, że nowy problem X jest NP-trudny?

AZredukować X do znanego problemu NP-trudnego w czasie wielomianowym
BWykazać, że X można zweryfikować w czasie wielomianowym
CZredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
DWykazać, że X nie ma algorytmu wielomianowego dla małych danych

3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

AO(V²)
BO(log V)
CO(V + E)
DO(E)

4.Struktury danychTrudny

Usunięcie węzła z dwojgiem dzieci z binarnego drzewa poszukiwań wykonuje się zwykle przez:

AZbudowanie od nowa poddrzewa poniżej węzła i ponowne wstawienie wszystkich zawartych w nim kluczy
BZamianę go z korzeniem
CZastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła
DUsunięcie całego poddrzewa

5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K₆? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K₆

H =

6.Teoria grafówTrudny

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(C) najkrótszej ścieżki z A do C w grafie ważonym.

start: Akoniec: C

d(C) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej n^{log₂ 2} = n dominuje nad stałą pracą, więc T(n) = Θ(n), jak przy szukaniu maksimum przez dzielenie na połowy.

Odpowiedź

A · O(n)

2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli znany trudny problem można efektywnie przekształcić w X, to szybki algorytm dla X rozwiązałby też znany problem.

Odpowiedź

C · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym

3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

A · O(V²)

4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła

Dlaczego to jest odpowiedź

Następnik in-order ma co najwyżej jedno dziecko, więc można go łatwo usunąć po skopiowaniu jego klucza do usuwanego węzła.

Odpowiedź

C · Zastąpienie go następnikiem (lub poprzednikiem) w porządku in-order i usunięcie tamtego węzła

5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; K_n ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(C) = 18

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 11

B (11): D: 18, G: 14

G (14): E: 15

E (15): C: 18, F: 24

C (18)

D (18)

F (24)

Najkrótsza ścieżka

A → B → G → E → C

d(C) = 18

Odpowiedź

d(C) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms