Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego programowanie dynamiczne nie daje realnego przyspieszenia sortowania przez scalanie?

  1. AProgramowanie dynamiczne działa tylko na problemach grafowych, a nie na tablicach
  2. BJego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
  3. CSortowanie przez scalanie już jest O(n)
  4. DSortowanie przez scalanie nie ma struktury rekurencyjnej
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który z tych problemów spełnialności jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym?

  1. A2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
  2. BOgólny SAT dla formuł w koniunkcyjnej postaci normalnej
  3. C3-SAT, w którym każda klauzula ma dokładnie trzy literały
  4. DSpełnialność układów logicznych (circuit SAT)
3.Struktury danychŚredni

Jak znaleźć najmniejszy klucz w binarnym drzewie poszukiwań?

  1. ASprawdzić tylko korzeń
  2. BIść od korzenia do prawych dzieci, aż zabraknie prawego dziecka
  3. CIść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
  4. DOdwiedzić każdy liść i porównać je
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest oczekiwany czas wyszukiwania przy prostym równomiernym haszowaniu w tablicy mieszającej z metodą łańcuchową, n kluczami i m kubełkami?

  1. AO(log n)
  2. BO(m)
  3. CO(n)
  4. DO(1 + α), gdzie α = n / m
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
126818119102016ABCDEFG

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 5
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź DE
  5. 5krawędź DF
  6. 6krawędź EF
  7. 7krawędź GB
  8. 8krawędź GC
  9. 9krawędź GD

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowy w sortowaniu przez scalanie są rozłączne i każdą rozwiązuje się raz; DP pomaga tylko, gdy podproblemy się powtarzają, jak przy liczbach Fibonacciego.

Odpowiedź

B · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały

Dlaczego to jest odpowiedź

2-SAT należy do P (czas liniowy dzięki silnie spójnym składowym), a 3-SAT jest NP-zupełny.

Odpowiedź

A · 2-SAT, w którym każda klauzula ma najwyżej dwa literały
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka

Dlaczego to jest odpowiedź

W drzewie nie ma klucza mniejszego niż w skrajnie lewym węźle, więc jest on minimum; koszt jest proporcjonalny do wysokości.

Odpowiedź

C · Iść od korzenia do lewych dzieci, aż zabraknie lewego dziecka
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(1 + α), gdzie α = n / m

Dlaczego to jest odpowiedź

Obliczenie funkcji mieszającej kosztuje O(1), a oczekiwana długość łańcucha to α, więc utrzymywanie ograniczonego α przez zmianę rozmiaru daje oczekiwany czas O(1).

Odpowiedź

D · O(1 + α), gdzie α = n / m
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

A, B, D, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź GD

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. DF (1)
2. AC (6)
3. BC (8)
4. GB (10)
5. GD (16)
6. DE (18)

numer krawędzi 5

GD

Odpowiedź

krawędź GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms