Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile pamięci stosu zużywa prosta rekurencyjna funkcja silni fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest zamortyzowany koszt inkrementacji licznika binarnego, skoro jedna inkrementacja może zmienić wiele bitów?

  1. AO(n) na inkrementację
  2. BO(n log n) na inkrementację
  3. CO(1) na inkrementację
  4. DO(log n) na inkrementację
3.Struktury danychŚredni

Jaka jest pesymistyczna wysokość binarnego drzewa poszukiwań z n węzłami, jeśli klucze są wstawiane w kolejności posortowanej?

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. Cn (drzewo staje się listą wiązaną)
  4. D1
4.Struktury danychTrudny

Struktura union-find (zbiory rozłączne) z łączeniem według rangi i kompresją ścieżki ma zamortyzowany koszt operacji równy:

  1. ADokładnie O(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
  4. DO(n²)
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 2× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
52171516141213897ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Rekurencja ma głębokość n wywołań, zanim którekolwiek wróci, a każde wywołanie potrzebuje ramki stosu, więc zużywa O(n) pamięci.

Odpowiedź

B · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(1) na inkrementację

Dlaczego to jest odpowiedź

W ciągu n inkrementacji bit i zmienia się około n / 2ⁱ razy, więc łącznie jest mniej niż 2n zmian, średnio O(1) na inkrementację.

Odpowiedź

C · O(1) na inkrementację
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · n (drzewo staje się listą wiązaną)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wstawianie posortowanych kluczy tworzy zdegenerowane drzewo o wysokości n, przez co wyszukiwanie ma złożoność O(n). Drzewa zrównoważone temu zapobiegają.

Odpowiedź

C · n (drzewo staje się listą wiązaną)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy obu optymalizacjach operacje zajmują zamortyzowany czas O(α(n)); α(n) ≤ 4 dla każdego realistycznego n.

Odpowiedź

C · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 21

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 41 = 2(L + 11) − 2
L = 21

Odpowiedź

L = 21

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 47

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

AC (2): weź
AB (5): weź
GD (7): weź
GB (8): weź
GC (9): pomiń, zamyka cykl
DF (12): weź
EF (13): weź

Łączna waga

W = 2 + 5 + 7 + 8 + 12 + 13 = 47

Odpowiedź

W = 47

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms