Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Korzystając z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem), rozwiązaniem T(n) = 8T(n/2) + O(n²) jest:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n² log n)
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest koszt wstawienia elementu w środek tablicy o n elementach?

  1. AO(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
  2. BO(log n), z powodu wyszukiwania binarnego
  3. CO(n²), bo każdy element przesuwa się n razy
  4. DO(1), bo indeks jest znany
4.Struktury danychTrudny

Dla każdego elementu tablicy chcesz znaleźć najbliższy większy element po jego prawej stronie, w łącznym czasie O(n). Która struktura pomaga?

  1. AKolejka przechowująca każdą parę elementów
  2. BStos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
  3. CBinarne drzewo poszukiwań budowane od nowa dla każdego elementu
  4. DTablica mieszająca wszystkich elementów
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
26311891414188ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(C) najkrótszej ścieżki z A do C w grafie ważonym.

start: Akoniec: C
d(C) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem zmniejsza się o połowę w każdym kroku przy stałej pracy na krok, więc kroków jest około log₂ n.

Odpowiedź

A · O(log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Θ(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

log₂ 8 = 3, a n² rośnie wolniej niż n³, więc dominują liście: Θ(n³).

Odpowiedź

B · Θ(n³)
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie elementy za miejscem wstawienia przesuwają się o jedną pozycję w prawo, co zajmuje czas proporcjonalny do n.

Odpowiedź

A · O(n), bo dalsze elementy trzeba przesunąć
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź

Dlaczego to jest odpowiedź

Przechodząc od lewej do prawej, zdejmij ze stosu każdy element mniejszy od bieżącego (bieżący element jest ich odpowiedzią), a potem odłóż bieżący; każdy element przemieszcza się co najwyżej dwa razy.

Odpowiedź

B · Stos przechowujący elementy czekające na swoją odpowiedź
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

B, C, D, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(C) = 5

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 2, C: 6
B (2): C: 5, D: 13, G: 16
C (5): E: 13, G: 6
G (6)
D (13): F: 22
E (13)
F (22)

Najkrótsza ścieżka

A → B → C
d(C) = 5

Odpowiedź

d(C) = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms