Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa algorytmu Bellmana–Forda dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³ × E)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dyskretny problem plecakowy (0/1) rozwiązany programowaniem dynamicznym zajmuje czas O(nW). Dlaczego nazywa się to złożonością pseudowielomianową?

  1. APonieważ n jest zawsze małe
  2. BPonieważ algorytm jest randomizowany, a jego czas działania zmienia się przy każdych danych
  3. CW jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
  4. DPonieważ działa tylko dla W = 0
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. ATablica mieszająca
  2. BStos
  3. CNieposortowana lista wiązana
  4. DZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danychTrudny

Czym drzewo radix (skompresowane trie) przewyższa zwykłe trie?

  1. APrzechowuje każde słowo w tablicy mieszającej w korzeniu zamiast w osobnych węzłach
  2. BZachowuje tylko pierwszą literę każdego słowa
  3. CŁączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
  4. DSortuje dzieci każdego węzła według częstości
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
41549651221292ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(V × E)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda z V − 1 rund relaksuje wszystkie E krawędzi, co daje O(VE); w zamian algorytm obsługuje ujemne wagi krawędzi.

Odpowiedź

B · O(V × E)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W

Dlaczego to jest odpowiedź

Czas działania jest wielomianowy względem wartości W, ale wykładniczy względem jej długości (log W bitów); dyskretny problem plecakowy jest NP-zupełny.

Odpowiedź

C · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

D · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków

Dlaczego to jest odpowiedź

Zwinięcie ścieżek bez rozgałęzień zmniejsza liczbę węzłów i zużycie pamięci przy zachowaniu wyszukiwania po prefiksie.

Odpowiedź

C · Łączy łańcuchy węzłów z jednym dzieckiem w jedną krawędź etykietowaną ciągiem znaków
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 19

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 4, C: 15
B (4): C: 8, G: 6
G (6): D: 15, E: 8
C (8)
E (8): D: 14, F: 20
D (14): F: 19
F (19)

Najkrótsza ścieżka

A → B → G → E → D → F
d(F) = 19

Odpowiedź

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms