Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) wykonaj pracę O(1)?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
3.Struktury danychŚredni

Przejście in-order (poprzeczne) binarnego drzewa poszukiwań odwiedza klucze w kolejności:

  1. AZawsze malejącej
  2. BRosnącej (posortowanej)
  3. CWstawiania
  4. DPoziomami
4.Struktury danychTrudny

Struktura union-find (zbiory rozłączne) z łączeniem według rangi i kompresją ścieżki ma zamortyzowany koszt operacji równy:

  1. AO(n²)
  2. BO(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
  3. CO(n)
  4. DDokładnie O(log n)
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 15, liczba krawędzi 22. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 15|E| = 22
k =
6.Teoria grafówTrudny
11415513246ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Jest n poziomów ze stałą pracą na każdym, jak przy rekurencyjnym sumowaniu tablicy.

Odpowiedź

D · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Łącznie n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, a liczba harmoniczna Hn to Θ(log n).

Odpowiedź

B · O(n log n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Rosnącej (posortowanej)

Dlaczego to jest odpowiedź

Odwiedzenie lewego poddrzewa, potem węzła, a potem prawego poddrzewa wypisuje klucze BST w kolejności posortowanej.

Odpowiedź

B · Rosnącej (posortowanej)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy obu optymalizacjach operacje zajmują zamortyzowany czas O(α(n)); α(n) ≤ 4 dla każdego realistycznego n.

Odpowiedź

B · O(α(n)), gdzie α to odwrotność funkcji Ackermanna, praktycznie stała
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 8

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

15 − 1 = 14

Krawędzie do usunięcia

k = 22 − 14 = 8

Odpowiedź

k = 8
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 11

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 1, C: 14
B (1): D: 6, E: 7
D (6)
E (7): F: 11
F (11)
C (14)

Najkrótsza ścieżka

A → B → E → F
d(F) = 11

Odpowiedź

d(F) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms