Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: for j = 1 to i: wykonaj pracę O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o wyborze k-tego najmniejszego elementu nieposortowanej tablicy jest poprawne?

  1. AQuickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
  2. BQuickselect działa w O(log n) w najgorszym przypadku, bo schodzi rekurencyjnie tylko po jednej stronie piwota
  3. CWybór jest możliwy tylko w O(n²)
  4. DWybór zawsze wymaga Ω(n log n), bo wymaga sortowania
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego przechodzenie tablicy jest w praktyce często znacznie szybsze niż przechodzenie listy wiązanej o tej samej długości?

  1. APrzejście tablicy ma łącznie złożoność O(1), a listy wiązanej O(n)
  2. BElementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
  3. CListy wiązane zawsze przechowują elementy na dysku
  4. DTablice wymagają mniej instrukcji do porównania wartości
4.Struktury danychTrudny

Którą własność musi spełniać drzewo czerwono-czarne?

  1. AKażda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
  2. BKorzeń musi być czerwony
  3. CKażdy czerwony węzeł musi mieć czerwone dzieci, więc czerwone węzły zawsze tworzą nieprzerwane łańcuchy aż do liści
  4. DKażdy węzeł musi być czerwony
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
94511189310ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wnętrze pętli wewnętrznej wykonuje się łącznie n(n + 1) / 2 razy, co nadal jest kwadratowe.

Odpowiedź

A · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku

Dlaczego to jest odpowiedź

Oczekiwana praca quickselecta to n + n/2 + n/4 + ... = O(n) przy losowych elementach osiowych; wybór elementu osiowego jako mediany median daje liniowy najgorszy przypadek.

Odpowiedź

A · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora

Dlaczego to jest odpowiedź

Ciągła pamięć zapewnia dobrą lokalność odwołań, a połączone węzły mogą być rozproszone i powodować wiele chybień w pamięci podręcznej.

Odpowiedź

B · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów

Dlaczego to jest odpowiedź

Zasady drzewa czerwono-czarnego: węzły są czerwone lub czarne, korzeń jest czarny, czerwone węzły mają czarne dzieci, a wszystkie ścieżki mają równą czarną wysokość, co utrzymuje wysokość ≤ 2 log₂(n + 1).

Odpowiedź

A · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

Wierzchołki nieparzyste

B, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 22

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 9, C: 4
C (4): E: 5
E (5): D: 13, G: 15
B (9)
D (13): F: 22
G (15)
F (22)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E → D → F
d(F) = 22

Odpowiedź

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms