Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

W posortowanej tablicy szukasz dwóch elementów o sumie równej celowi, przesuwając po jednym wskaźniku z każdego końca do środka. Jaka jest złożoność czasowa?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie dwie rzeczy trzeba wykazać, aby udowodnić, że problem decyzyjny X jest NP-zupełny?

  1. AX należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
  2. BX nie ma algorytmu wielomianowego, a X jest rozstrzygalny
  3. CX należy do P, a X redukuje się do SAT
  4. DX redukuje się do problemu z P, a X należy do NP
3.Struktury danychŚredni

Co się dzieje, gdy tablica mieszająca wykonuje rehashing po przekroczeniu progu współczynnika zapełnienia?

  1. AAlokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
  2. BIstniejące klucze są sortowane w miejscu
  3. CTylko kolidujące klucze są przenoszone na nową listę nadmiarową na końcu tablicy
  4. DNajstarsze klucze są usuwane, by zrobić miejsce
4.Struktury danychTrudny

Węzeł AVL jest niezrównoważony, bo prawe poddrzewo jego lewego dziecka stało się zbyt wysokie (przypadek lewo-prawo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. ARotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
  2. BPojedynczą rotację w lewo w węźle
  3. CPojedynczą rotację w prawo w węźle
  4. DRotację w prawo w lewym dziecku, a potem rotację w lewo w węźle
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów o długości 3 z C do E? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy suma jest za mała, lewy wskaźnik przesuwa się w prawo, gdy za duża, prawy w lewo, więc kroków jest najwyżej n.

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przynależność do NP pokazuje, że X nie jest trudniejszy niż NP; redukcja ze znanego problemu NP-zupełnego pokazuje, że X jest co najmniej tak trudny jak cała klasa NP.

Odpowiedź

A · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ indeks oblicza się modulo rozmiar tablicy, wszystkie klucze trzeba ponownie zahaszować do nowej, większej tablicy; przy podwajaniu koszt zamortyzowany pozostaje O(1).

Odpowiedź

A · Alokuje się większą tablicę i ponownie wstawia każdy klucz
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

Pierwsza rotacja zamienia przypadek lewo-prawo w przypadek lewo-lewo, który następnie naprawia rotacja w prawo w niezrównoważonym węźle.

Odpowiedź

A · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

B, C, D, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Jeszcze jeden krok

(M³)CE = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 0·1 + 1·0 + 0·1 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms