Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oblicza algorytm Floyda–Warshalla i jak szybko?

  1. ANajkrótsze ścieżki z jednego wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych w O(V + E)
  2. BNajkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
  3. CMinimalne drzewo rozpinające w O(E log V)
  4. DPorządek topologiczny w O(V²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaki jest zamortyzowany koszt inkrementacji licznika binarnego, skoro jedna inkrementacja może zmienić wiele bitów?

  1. AO(1) na inkrementację
  2. BO(log n) na inkrementację
  3. CO(n) na inkrementację
  4. DO(n log n) na inkrementację
3.Struktury danychŚredni

Jaka jest pesymistyczna wysokość binarnego drzewa poszukiwań z n węzłami, jeśli klucze są wstawiane w kolejności posortowanej?

  1. A1
  2. Blog₂ n
  3. C√n
  4. Dn (drzewo staje się listą wiązaną)
4.Struktury danychTrudny

Jaka jest główna zaleta listy z przeskokami (skip list) nad posortowaną listą wiązaną?

  1. AOczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
  2. BNie zużywa dodatkowej pamięci
  3. CGwarantowane wyszukiwanie w O(1), bo każdy węzeł przechowuje wskaźnik do każdego innego węzła
  4. DPrzechowuje klucze bez uporządkowania
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
910141215713ABCDEF

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka D. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3.

start: Dk = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)

Dlaczego to jest odpowiedź

Floyd–Warshall to algorytm programowania dynamicznego, który kolejno dopuszcza każdy wierzchołek jako punkt pośredni, w czasie O(V³).

Odpowiedź

B · Najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków w O(V³)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(1) na inkrementację

Dlaczego to jest odpowiedź

W ciągu n inkrementacji bit i zmienia się około n / 2ⁱ razy, więc łącznie jest mniej niż 2n zmian, średnio O(1) na inkrementację.

Odpowiedź

A · O(1) na inkrementację
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · n (drzewo staje się listą wiązaną)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wstawianie posortowanych kluczy tworzy zdegenerowane drzewo o wysokości n, przez co wyszukiwanie ma złożoność O(n). Drzewa zrównoważone temu zapobiegają.

Odpowiedź

D · n (drzewo staje się listą wiązaną)
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowane poziomy pozwalają przeskakiwać wiele węzłów podczas wyszukiwania, co daje oczekiwaną złożoność O(log n) dla wyszukiwania, wstawiania i usuwania.

Odpowiedź

A · Oczekiwane wyszukiwanie w O(log n) dzięki kilku poziomom wskaźników do przodu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź EF

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. BD (1)
2. DE (2)
3. EF (7)
4. AB (9)
5. AC (10)

numer krawędzi 3

EF

Odpowiedź

krawędź EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms