Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oznacza, że problem ma optymalną podstrukturę?

  1. AKażdy podproblem ma ten sam rozmiar
  2. BProblem ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne, wspólne dla wszystkich podproblemów
  3. COptymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
  4. DProblem można rozwiązać w czasie stałym
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie topologiczne jest możliwe tylko dla:

  1. AGrafów z ujemnymi wagami
  2. BGrafów pełnych
  3. CSkierowanych grafów acyklicznych
  4. DGrafów nieskierowanych
3.Struktury danychŚredni

Kolejkę zaimplementowano za pomocą dwóch stosów: push na stos „in”, a pop ze stosu „out”, który, gdy jest pusty, uzupełnia się ze stosu „in”. Jaki jest zamortyzowany koszt jednej operacji?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
4.Struktury danychTrudny

Tablica dynamiczna podwaja rozmiar, gdy jest pełna. Dlaczego wiele implementacji zmniejsza ją dopiero przy zapełnieniu w jednej czwartej, a nie w połowie?

  1. ABo alokator pamięci może zwalniać pamięć tylko w ćwiartkach bloku
  2. BBy uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
  3. CBo zmniejszanie o połowę przy zapełnieniu w połowie spowodowałoby utratę elementów
  4. DBy utrzymać tablicę posortowaną
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 3, 2× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
20812103131916ABCDEF

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 5
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalna podstruktura jest wymagana zarówno przez algorytmy zachłanne, jak i przez programowanie dynamiczne, by dawały poprawne odpowiedzi.

Odpowiedź

C · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Skierowanych grafów acyklicznych

Dlaczego to jest odpowiedź

Porządek topologiczny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy graf skierowany nie ma cykli; można go znaleźć w czasie O(V + E) za pomocą DFS lub algorytmu Kahna.

Odpowiedź

C · Skierowanych grafów acyklicznych
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy element jest łącznie co najwyżej dwa razy odkładany i zdejmowany, więc choć jedno uzupełnienie może zająć O(n), średnia w ciągu operacji wynosi O(1).

Odpowiedź

A · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmniejszanie przy połowie mogłoby w takim ciągu wywoływać zmianę rozmiaru przy każdej operacji; odstęp między 1/4 a pełną tablicą utrzymuje koszt zamortyzowany O(1).

Odpowiedź

B · By uniknąć wielokrotnej zmiany rozmiaru, gdy operacje push i pop przeplatają się w pobliżu granicy
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 18

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Odpowiedź

L = 18

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź DF

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. DE (3)
2. AC (8)
3. BD (10)
4. BC (12)
5. DF (13)

numer krawędzi 5

DF

Odpowiedź

krawędź DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms