Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Rozwiąż y″ + 7y′ + 10y = 0 z y(0) = 3 i y′(0) = 1. Wyznacz y(0,5).
Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + 3y/x = 3 dla x > 0, z y(1) = −2. Wyznacz y(3).
Oblicz I = ∫24 3/x dx.
Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x2 i y = x.
Dana jest funkcja f(x) = x·sin(x), x w radianach. Wyznacz f′(1).
Dana jest funkcja f(x) = x3 − 3x2 − 3. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.
Prędkość pojazdu mierzono co 5 s (tabela). Oszacuj drogę s przebytą od t = 0 do t = 30 s wzorem trapezów.
Użyj metody Eulera z h = 0,25 dla y′ = −2ty, y(0) = 2, aby oszacować y4 ≈ y(1).
Odpowiedź: y(0.5) = 1,77
Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.
Odpowiedź: y(3) = 2,148
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
Odpowiedź: I = 2,079
Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.
Odpowiedź: A = 0,04167
Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.
Odpowiedź: f′(1) = 1,382
Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.
Odpowiedź: x = 2
Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.
f″(x) = 6x − 6: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.
Odpowiedź: s = 470 m
Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.
Odpowiedź: y4 = 0,8203
Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.
Wartość dokładna to y(1) = 0,735759.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations