Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 2y′ + y = 0 z y(0) = 1 i y′(0) = 4. Wyznacz y(2).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = 4

y(2) =

2.Równania różniczkoweTrudny

Zbiornik zawiera 400 L czystej wody. Solanka zawierająca 0,2 kg soli na litr wpływa z natężeniem 5 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Po ilu minutach t zbiornik będzie zawierał 48 kg soli?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = x² i y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x²·e^−0,5x. Wyznacz f′(1).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 1

f′(1) =

6.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 0,5x² − 2x + 4 w x = 1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 0,5x² − 2x + 4x = 1

b =

7.Metody numeryczneŚredni

Prędkość pojazdu mierzono co 5 s (tabela). Oszacuj drogę s przebytą od t = 0 do t = 20 s wzorem Simpsona.

h = 5 sn = 4

s = m

8.Metody numeryczneTrudny

Rozwiąż y′ = y(2 − y), y(0) = 1 metodą Eulera z krokiem h = 0,1 aż do t = 0,3. Rozwiązanie dokładne to y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t). Znajdź błąd globalny |E| = |y(0,3) − y₃|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,1

|E| =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(2) = 1,489

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastek podwójny

(r + 1)² = 0 → r = −1

Stałe

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 1A → B = 4 + 1 = 5

Oblicz

y(2) = (1 + 5·2)·e⁻² = 1,489

Odpowiedź

y(2) = 1,489

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: t = 73,3 min

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Wynik

m(t) = 80 + (−80)·e^−t/80

Wyznacz t

e^−t/80 = (80 − 48)/(80 − 0) = 0,4

t = 80·ln(2,5) = 73,3 min

Odpowiedź

t = 73,3 min

3.Całki

Odpowiedź: I = 41,33

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Odpowiedź

I = 41,33

4.Całki

Odpowiedź: A = 10,67

Punkty przecięcia

x² = 4x → x = 0, x = 4

Całkuj górną minus dolną

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Odpowiedź

A = 10,67

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 0,9098

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Podstaw

f′(1) = 0,6065·(2 + (−0,5)) = 0,9098

Odpowiedź

f′(1) = 0,9098

6.Pochodne

Odpowiedź: b = 3,5

Punkt i nachylenie

f(1) = 2,5

f′(x) = x − 2 → f′(1) = −1

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2,5 − (−1)·1 = 3,5

Odpowiedź

b = 3,5

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: s = 316,7 m

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Suma ważona

8 + 4·14 + 2·14 + 4·19 + 22 = 190

Wzór Simpsona

s = (5/3)·190 = 316,7 m

Odpowiedź

s = 316,7 m

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: |E| = 0,003727

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₃ = 1,29504

Wartość dokładna

y(0,3) = 1,291313

Błąd globalny

|E| = |1,291313 − 1,29504| = 0,003727

Wykres

Odpowiedź

|E| = 0,003727

Połowienie h z grubsza połowi błąd metody Eulera.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations