Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 3y′ + 2y = 0 z y(0) = 3 i y′(0) = 2. Wyznacz y(1,5).

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 3y′(0) = 2

y(1.5) =

2.Równania różniczkoweTrudny

Układ spełnia równanie y″ + 3y′ + 11,25y = 11,25 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz y(1,5); kąty w radianach.

y″ + 3y′ + 11,25y = 11,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₁³ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 3]

I =

4.CałkiTrudny

Oblicz I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(2x), x w radianach. Wyznacz f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = −x² − x + 2 w x = 2 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = −x² − x + 2x = 2

b =

7.Metody numeryczneŚredni

Wzór trapezów stosuje się do ∫₀² sin x dx. Błąd wynosi co najwyżej (b − a)³·M/(12n²), gdzie M = max|f″| na [0, 2]. Znajdź najmniejszą liczbę pasków n, która gwarantuje błąd poniżej 0,001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,001

n =

8.Metody numeryczneTrudny

Rozwiąż y′ = −2ty, y(0) = −1 metodą Eulera z krokiem h = 0,2 aż do t = 0,6. Rozwiązanie dokładne to y = y₀e^−t². Znajdź błąd globalny |E| = |y(0,6) − y₃|.

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,2

|E| =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1.5) = 1,536

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki charakterystyczne

(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2

Stałe z wartości początkowych

A + B = 3, −1A − 2B = 2

A = 8, B = −5

Oblicz

y(1,5) = 8·e^−1,5 + (−5)·e⁻³ = 1,536

Odpowiedź

y(1,5) = 1,536

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1.5) = 1,074

Wartość ustalona i pierwiastki

y_ss = 1, r = −1,5 ± 3j

Stałe z wartości początkowych

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1,5A + 3B = 0 → B = −0,5

Oblicz

y(1,5) = 1·(1 − e^−2,25(cos 4,5 + 0,5·sin 4,5)) = 1,074

Odpowiedź

y(1,5) = 1,074

3.Całki

Odpowiedź: I = 3,296

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 3·ln x

Podstaw granice

I = 3·(ln 3 − ln 1) = 3·ln 3 = 3,296

Odpowiedź

I = 3,296

4.Całki

Odpowiedź: I = 0,0609

Całkowanie przez części: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, co wynika z reguły różniczkowania iloczynu. Za u wybierz czynnik, który po zróżniczkowaniu staje się prostszy (potęga x lub ln x), a za dv czynnik, który umiesz scałkować (eˣ, sin x, cos x albo x, gdy u = ln x). Dla całki oznaczonej oblicz u·v na obu granicach: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Czynnik x² wymaga dwóch rund.

Pierwsza runda

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Druga runda

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Granice

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Odpowiedź

I = 0,0609

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 0,077

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Podstaw

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Odpowiedź

f′(1) = 0,077

6.Pochodne

Odpowiedź: b = 6

Punkt i nachylenie

f(2) = −4

f′(x) = −2x − 1 → f′(2) = −5

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − (−5)·2 = 6

Odpowiedź

b = 6

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: n = 26

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Oszacowanie drugiej pochodnej

M = |sin(π/2)| = 1

Wyznacz n

n² > 8·1/(12·0,001) = 666,7

n > 25,82 → n = 26

Odpowiedź

n = 26

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: |E| = 0,07512

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₃ = −0,7728

Wartość dokładna

y(0,6) = −0,697676

Błąd globalny

|E| = |−0,697676 + 0,7728| = 0,07512

Wykres

Odpowiedź

|E| = 0,07512

Połowienie h z grubsza połowi błąd metody Eulera.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations