Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

  1. Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
  2. Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
  3. Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
  4. Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni
tyy(0) = 2y(0,5) = ?

Rozwiąż y″ + 5y′ + 6y = 0 z y(0) = 2 i y′(0) = -4. Wyznacz y(0,5).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(0.5) =
2.Równania różniczkoweTrudny
tyy(0) = 1y(0,25) = ?

Rozwiąż y″ + 3y′ + 27,25y = 0 z y(0) = 1 i y′(0) = 0 (start ze spoczynku). Wyznacz y(0,25); kąty w radianach.

y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.25) =
3.CałkiŚredni
xy13

Oblicz I = ∫13 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 3]
I =
4.CałkiTrudny
xyy = 2x2​y = 2x

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x2 i y = 2x.

y = 2x2y = 2x
A =
5.PochodneŚredni
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(2x), x w radianach. Wyznacz f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad
f′(1) =
6.PochodneTrudny
xy

Dana jest funkcja f(x) = x3 − 9x2 + 15x − 5. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x3 − 9x2 + 15x − 5
x =
7.Metody numeryczneŚredni
xy00,511,5

Przybliż ∫01,5 √(1 + x³) dx wzorem trapezów przy n = 3 paskach. Podaj T.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
T =
8.Metody numeryczneTrudny
00,10,20,30,40,50,6ty(0, 0,5)

Użyj metody Heuna (ulepszonej metody Eulera) z h = 0,2 dla y′ = cos t − y, y(0) = 0,5, aby oszacować y2 ≈ y(0,4).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,2
y2 =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.5) = 0,7358

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki charakterystyczne

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

Stałe z wartości początkowych

A + B = 2, −2A − 3B = -4
A = 2, B = 0

Oblicz

y(0,5) = 2·e−1 + 0·e−1,5 = 0,7358

Odpowiedź

y(0,5) = 0,7358
2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.25) = 0,4124

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki zespolone

r = −1,5 ± 5j

Stałe

A = 1, B = 1,5·1/5 = 0,3

Oblicz

y(0,25) = e−0,375(1·cos 1,25 + 0,3·sin 1,25) = 0,4124

Odpowiedź

y(0,25) = 0,4124
3.Całki

Odpowiedź: I = 5,493

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 5·ln x

Podstaw granice

I = 5·(ln 3 − ln 1) = 5·ln 3 = 5,493

Odpowiedź

I = 5,493
4.Całki

Odpowiedź: A = 0,3333

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Punkty przecięcia

2x2 = 2x → x = 0, x = 1

Całkuj górną minus dolną

A = [x2 − 0,6667x3]01 = 0,3333

Odpowiedź

A = 0,3333
5.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 0,077

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Podstaw

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Odpowiedź

f′(1) = 0,077
6.Pochodne

Odpowiedź: x = 1

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Pochodna

f′(x) = 3x2 − 18x + 15 = 3·(x2 − 6x + 5)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 1 lub x = 5

Które jest które

f″(x) = 6x − 18: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12
x = 1

Odpowiedź

x = 1
7.Metody numeryczne

Odpowiedź: T = 2,01

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

ixᵢf(xᵢ)masa ciała001110,51,060662211,414214231,52,091651

Węzły i wartości

h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1,06066 + 2·1,414214 + 2,09165 = 8,041398

Wzór trapezów

T = (0,5/2)·8,041398 = 2,01

Odpowiedź

T = 2,01

Ta całka nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, a właśnie wtedy potrzebna jest reguła numeryczna.

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y2 = 0,6527

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁000,50,50,3800670,58800710,20,5880070,392060,2546420,652677

Kroki Heuna

y₁ = 0,5 + (0,2/2)(0,5 + 0,380067) = 0,588007
y₂ = 0,588007 + (0,2/2)(0,39206 + 0,254642) = 0,652677
00,10,20,30,40,50,6ty

Wykres

y2 = 0,6527

Odpowiedź

y2 = 0,6527

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations