Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 6y′ + 9y = 0 z y(0) = 2 i y′(0) = -1. Wyznacz y(2).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(2) =

2.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż y′ + y = 2e^−3t z y(0) = 2. Wyznacz y(2).

y′ + y = 2e^−3ty(0) = 2

y(2) =

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀¹ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

4.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = x² i y = x.

y = x²y = x

A =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(x² + 5). Wyznacz f′(−1).

f(x) = ln(x² + 5)x = −1

f′(−1) =

6.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 0,5x² + 4x + 1 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 0,5x² + 4x + 1x = 3

b =

7.Metody numeryczneŚredni

Przybliż ∫₀² x³ dx wzorem trapezów, n = 4, i porównaj z dokładną wartością. Znajdź błąd bezwzględny |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 4

|E| =

8.Metody numeryczneTrudny

Wykonaj jeden krok klasycznej metody Rungego–Kutty (RK4) z h = 0,1 dla y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1. Znajdź y₁ ≈ y(0,1).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,1

y₁ =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(2) = 0,02975

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastek podwójny

(r + 3)² = 0 → r = −3

Stałe

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = -1 + 6 = 5

Oblicz

y(2) = (2 + 5·2)·e⁻⁶ = 0,02975

Odpowiedź

y(2) = 0,02975

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(2) = 0,4035

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Czynnik całkujący

μ = e^t

(e^ty)′ = 2e^−2t

Rozwiązanie ogólne

y = 2/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −1·e^−3t + C·e^−t

Warunek początkowy

2 = −1 + C → C = 3

Oblicz

y(2) = −1·0,002479 + 3·0,1353 = 0,4035

Odpowiedź

y(2) = 0,4035

3.Całki

Odpowiedź: I = 0,6321

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^−x/(−1)

Podstaw granice

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321

Odpowiedź

I = 0,6321

4.Całki

Odpowiedź: A = 0,1667

Punkty przecięcia

x² = x → x = 0, x = 1

Całkuj górną minus dolną

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Odpowiedź

A = 0,1667

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = −0,3333

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Podstaw

f′(−1) = −2/6 = −0,3333

Odpowiedź

f′(−1) = −0,3333

6.Pochodne

Odpowiedź: b = −3,5

Punkt i nachylenie

f(3) = 17,5

f′(x) = x + 4 → f′(3) = 7

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 17,5 − 7·3 = −3,5

Odpowiedź

b = −3,5

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: |E| = 0,25

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Wartość dokładna

I = 4

Wzór trapezów

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 2·1 + 2·3,375 + 8) = 4,25

Błąd

|E| = |4,25 − 4| = 0,25

Odpowiedź

|E| = 0,25

Błąd względny: 6,25%.

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₁ = 1,105

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Cztery nachylenia

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0,05, 1,05) = 1,052476

k₃ = f(0,05, 1,052624) = 1,052607

k₄ = f(0,1, 1,105261) = 1,110301

Połącz

y₁ = 1 + (0,1/6)(1 + 2·1,052476 + 2·1,052607 + 1,110301) = 1,105

Odpowiedź

y₁ = 1,105

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations