Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

  1. Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
  2. Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
  3. Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
  4. Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni
tyy(0) = 2y(0,5) = ?

Rozwiąż y″ + 6y′ + 9y = 0 z y(0) = 2 i y′(0) = -2. Wyznacz y(0,5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(0.5) =
2.Równania różniczkoweTrudny
tyK = 1ymax​ = ?

Układ spełnia równanie y″ + 2y′ + 5y = 5 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz wartość szczytową ymax jego odpowiedzi skokowej.

y″ + 2y′ + 5y = 5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3.CałkiŚredni
xy14

Oblicz I = ∫14 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 4]
I =
4.CałkiTrudny
xyy = 0,5x2​y = x

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 0,5x2 i y = x.

y = 0,5x2y = x
A =
5.PochodneŚredni
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = x2·e0,5x. Wyznacz f′(1).

f(x) = x2·e0,5xx = 1
f′(1) =
6.PochodneTrudny
xy

Dana jest funkcja f(x) = x3 + 6x2 + 2. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x3 + 6x2 + 2
x =
7.Metody numeryczneŚredni
xy0123

Przybliż ∫03 √x·e−x dx wzorem trapezów przy n = 3 paskach. Podaj T.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 3
T =
8.Metody numeryczneTrudny
00,20,400,020,04ty(0, 0)

Użyj metody Heuna (ulepszonej metody Eulera) z h = 0,25 dla y′ = t² + y², y(0) = 0, aby oszacować y2 ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,25
y2 =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.5) = 0,8925

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastek podwójny

(r + 3)² = 0 → r = −3

Stałe

A = y(0) = 2
y′(0) = B − 3A → B = -2 + 6 = 4

Oblicz

y(0,5) = (2 + 4·0,5)·e−1,5 = 0,8925

Odpowiedź

y(0,5) = 0,8925
2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: ymax = 1,208

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Wartość ustalona i pierwiastki

yss = 1, r = −1 ± 2j

Stałe z wartości początkowych

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1
y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −0,5

Szczyt

t = π/2 = 1,571
ymax = 1·(1 + e−1·π/2) = 1,208

Odpowiedź

ymax = 1,208
3.Całki

Odpowiedź: I = 4,159

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 3·ln x

Podstaw granice

I = 3·(ln 4 − ln 1) = 3·ln 4 = 4,159

Odpowiedź

I = 4,159
4.Całki

Odpowiedź: A = 0,6667

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Punkty przecięcia

0,5x2 = x → x = 0, x = 2

Całkuj górną minus dolną

A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667

Odpowiedź

A = 0,6667
5.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 4,122

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e0,5x·(2x + 0,5·x2)

Podstaw

f′(1) = 1,649·(2 + 0,5) = 4,122

Odpowiedź

f′(1) = 4,122
6.Pochodne

Odpowiedź: x = −4

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Pochodna

f′(x) = 3x2 + 12x = 3·(x2 + 4x)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −4 lub x = 0

Które jest które

f″(x) = 6x + 12: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−4) = −12, f″(0) = 12
x = −4

Odpowiedź

x = −4
7.Metody numeryczne

Odpowiedź: T = 0,6024

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

ixᵢf(xᵢ)masa ciała0001110,3678792220,1913932330,08623371

Węzły i wartości

h = 1
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,367879 + 2·0,191393 + 0,0862337 = 1,204779

Wzór trapezów

T = (1/2)·1,204779 = 0,6024

Odpowiedź

T = 0,6024

Ta całka nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, a właśnie wtedy potrzebna jest reguła numeryczna.

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y2 = 0,04695

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁00000,06250,007812510,250,00781250,0625610,250550,0469514

Kroki Heuna

y₁ = 0 + (0,25/2)(0 + 0,0625) = 0,0078125
y₂ = 0,0078125 + (0,25/2)(0,062561 + 0,25055) = 0,0469514
00,20,400,020,04ty

Wykres

y2 = 0,04695

Odpowiedź

y2 = 0,04695

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations