Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 8y′ + 16y = 0 z y(0) = 2 i y′(0) = -1. Wyznacz y(1).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(1) =

2.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż y′ + 3y = 5e^−0,5t z y(0) = 3. Wyznacz y(2).

y′ + 3y = 5e^−0,5ty(0) = 3

y(2) =

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

4.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 1 − x² a osią x.

y = 1 − x²

A =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x³·e^0,5x. Wyznacz f′(1).

f(x) = x³·e^0,5xx = 1

f′(1) =

6.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 3x² + 2x − 2 w x = −1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 3x² + 2x − 2x = −1

b =

7.Metody numeryczneŚredni

Przybliż ∫₀^1,5 e^−x² dx wzorem trapezów przy n = 5 paskach. Podaj T.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 5

T =

8.Metody numeryczneTrudny

Wykonaj jeden krok klasycznej metody Rungego–Kutty (RK4) z h = 0,5 dla y′ = cos t − y, y(0) = 0,5. Znajdź y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,5

y₁ =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1) = 0,1648

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastek podwójny

(r + 4)² = 0 → r = −4

Stałe

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = -1 + 8 = 7

Oblicz

y(1) = (2 + 7·1)·e⁻⁴ = 0,1648

Odpowiedź

y(1) = 0,1648

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(2) = 0,7382

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Czynnik całkujący

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 5e^2,5t

Rozwiązanie ogólne

y = 5/2,5·e^−0,5t + C·e^−3t = 2·e^−0,5t + C·e^−3t

Warunek początkowy

3 = 2 + C → C = 1

Oblicz

y(2) = 2·0,3679 + 1·0,002479 = 0,7382

Odpowiedź

y(2) = 0,7382

3.Całki

Odpowiedź: I = 0,9502

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^−x/(−1)

Podstaw granice

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Odpowiedź

I = 0,9502

4.Całki

Odpowiedź: A = 1,333

Miejsca zerowe

1 − x² = 0 → x = ±1

Całkuj

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Odpowiedź

A = 1,333

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 5,771

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(3x² + 0,5·x³)

Podstaw

f′(1) = 1,649·(3 + 0,5) = 5,771

Odpowiedź

f′(1) = 5,771

6.Pochodne

Odpowiedź: b = −5

Punkt i nachylenie

f(−1) = −1

f′(x) = 6x + 2 → f′(−1) = −4

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−4)·(−1) = −5

Odpowiedź

b = −5

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: T = 0,8538

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Węzły i wartości

h = 0,3

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,913931 + 2·0,697676 + 2·0,444858 + 2·0,236928 + 0,105399 = 5,692186

Wzór trapezów

T = (0,3/2)·5,692186 = 0,8538

Odpowiedź

T = 0,8538

Ta całka nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, a właśnie wtedy potrzebna jest reguła numeryczna.

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₁ = 0,6783

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Cztery nachylenia

k₁ = f(0, 0,5) = 0,5

k₂ = f(0,25, 0,625) = 0,343912

k₃ = f(0,25, 0,585978) = 0,382934

k₄ = f(0,5, 0,691467) = 0,186115

Połącz

y₁ = 0,5 + (0,5/6)(0,5 + 2·0,343912 + 2·0,382934 + 0,186115) = 0,6783

Odpowiedź

y₁ = 0,6783

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations