Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 8y′ + 16y = 0 z y(0) = 3 i y′(0) = -1. Wyznacz y(1,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = -1

y(1.5) =

2.Równania różniczkoweTrudny

Zbiornik zawiera 1000 L czystej wody. Solanka zawierająca 0,05 kg soli na litr wpływa z natężeniem 10 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Po ilu minutach t zbiornik będzie zawierał 20 kg soli?

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 10 L/min

t = min

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

4.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x² i y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = (3x + 1)⁵. Wyznacz f′(2).

f(x) = (3x + 1)⁵x = 2

f′(2) =

6.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 6x² + 9x − 6. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ + 6x² + 9x − 6

x =

7.Metody numeryczneŚredni

Wzór trapezów stosuje się do ∫₀¹ x³ dx. Błąd wynosi co najwyżej (b − a)³·M/(12n²), gdzie M = max|f″| na [0, 1]. Znajdź najmniejszą liczbę pasków n, która gwarantuje błąd poniżej 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001

n =

8.Metody numeryczneTrudny

Wykonaj jeden krok klasycznej metody Rungego–Kutty (RK4) z h = 0,1 dla y′ = e^−ty, y(0) = 0,5. Znajdź y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e^−tyy(0) = 0,5h = 0,1

y₁ =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1.5) = 0,04834

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastek podwójny

(r + 4)² = 0 → r = −4

Stałe

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = -1 + 12 = 11

Oblicz

y(1,5) = (3 + 11·1,5)·e⁻⁶ = 0,04834

Odpowiedź

y(1,5) = 0,04834

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: t = 51,08 min

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Wynik

m(t) = 50 + (−50)·e^−t/100

Wyznacz t

e^−t/100 = (50 − 20)/(50 − 0) = 0,6

t = 100·ln(1,667) = 51,08 min

Odpowiedź

t = 51,08 min

3.Całki

Odpowiedź: I = 3,75

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Odpowiedź

I = 3,75

4.Całki

Odpowiedź: A = 0,3333

Punkty przecięcia

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Całkuj górną minus dolną

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Odpowiedź

A = 0,3333

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 36015

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

Podstaw

f′(2) = 5·7⁴·3 = 36015

Odpowiedź

f′(2) = 36015

6.Pochodne

Odpowiedź: x = −1

Pochodna

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −3 lub x = −1

Które jest które

f″(x) = 6x + 12: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −1

Odpowiedź

x = −1

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: n = 71

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Oszacowanie drugiej pochodnej

M = 6·1 = 6

Wyznacz n

n² > 1·6/(12·0,0001) = 5000

n > 70,71 → n = 71

Odpowiedź

n = 71

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₁ = 0,5972

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Cztery nachylenia

k₁ = f(0, 0,5) = 1

k₂ = f(0,05, 0,55) = 0,972875

k₃ = f(0,05, 0,548644) = 0,972941

k₄ = f(0,1, 0,597294) = 0,942019

Połącz

y₁ = 0,5 + (0,1/6)(1 + 2·0,972875 + 2·0,972941 + 0,942019) = 0,5972

Odpowiedź

y₁ = 0,5972

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations