Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu
(uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

  1. Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
  2. Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
  3. W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
  4. Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

  1. Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
  2. Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
  3. Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
  4. Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni
tyy(0) = 5y(2) = ?

Rozwiąż y″ + 6y′ + 8y = 0 z y(0) = 5 i y′(0) = 0. Wyznacz y(2).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(2) =
2.Równania różniczkoweTrudny
tyy(0) = 1y(0,25) = ?

Rozwiąż y″ + 4y′ + 20y = 0 z y(0) = 1 i y′(0) = 0 (start ze spoczynku). Wyznacz y(0,25); kąty w radianach.

y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.25) =
3.CałkiŚredni
xy01

Oblicz I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
4.CałkiTrudny
xy−33

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²
A =
5.PochodneŚredni
xyx = 1

Dana jest funkcja f(x) = ln(2x2 + 2). Wyznacz f′(1).

f(x) = ln(2x2 + 2)x = 1
f′(1) =
6.PochodneTrudny
xyx = 3

Styczna do f(x) = x2 + 2x − 4 w x = 3 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = x2 + 2x − 4x = 3
b =
7.Metody numeryczneŚredni
xy00,66671,3332

Przybliż ∫02 1/√(1 + x⁴) dx wzorem trapezów przy n = 3 paskach. Podaj T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 3
T =
8.Metody numeryczneTrudny
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Użyj metody Heuna (ulepszonej metody Eulera) z h = 0,1 dla y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, aby oszacować y2 ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1
y2 =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(2) = 0,1815

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki charakterystyczne

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

Stałe z wartości początkowych

A + B = 5, −2A − 4B = 0
A = 10, B = −5

Oblicz

y(2) = 10·e−4 + (−5)·e−8 = 0,1815

Odpowiedź

y(2) = 0,1815
2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.25) = 0,5829

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = ert: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·er₁t + B·er₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·ert (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki zespolone

r = −2 ± 4j

Stałe

A = 1, B = 2·1/4 = 0,5

Oblicz

y(0,25) = e−0,5(1·cos 1 + 0,5·sin 1) = 0,5829

Odpowiedź

y(0,25) = 0,5829
3.Całki

Odpowiedź: I = 3,75

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3,75

Odpowiedź

I = 3,75
4.Całki

Odpowiedź: A = 36

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36
5.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = 1

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 4x/(2x2 + 2)

Podstaw

f′(1) = 4/4 = 1

Odpowiedź

f′(1) = 1
6.Pochodne

Odpowiedź: b = −13

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Punkt i nachylenie

f(3) = 11
f′(x) = 2x + 2 → f′(3) = 8

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 11 − 8·3 = −13

Odpowiedź

b = −13
7.Metody numeryczne

Odpowiedź: T = 1,35

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

ixᵢf(xᵢ)masa ciała001110,6666670,913812221,3333330,4902612320,2425361

Węzły i wartości

h = 0,6667
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,913812 + 2·0,490261 + 0,242536 = 4,050681

Wzór trapezów

T = (0,6667/2)·4,050681 = 1,35

Odpowiedź

T = 1,35

Ta całka nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, a właśnie wtedy potrzebna jest reguła numeryczna.

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y2 = 0,7131

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁000,511,0599640,60299810,10,6029981,0602631,141330,713078

Kroki Heuna

y₁ = 0,5 + (0,1/2)(1 + 1,059964) = 0,602998
y₂ = 0,602998 + (0,1/2)(1,060263 + 1,14133) = 0,713078
00,050,10,150,20,50,60,7ty

Wykres

y2 = 0,7131

Odpowiedź

y2 = 0,7131

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations