Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Odkuwkę stalową o temperaturze 320 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 22 °C. Po 42 min jej temperatura wynosi 218 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Po jakim czasie od początku, t, osiągnie 91 °C?

T₀ = 320 °CT_a = 22 °CT(42) = 218 °CT = 91 °C

t = min

2.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + y/x = 2x² dla x > 0, z y(1) = −3. Wyznacz y(3).

y′ + y/x = 2x²y(1) = −3

y(3) =

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₁⁴ 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 4]

I =

4.CałkiTrudny

Obszar między prostą y = 4x a parabolą y = x² obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły.

y = 4xy = x²

V =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = (−2x + 1)⁵. Wyznacz f′(1).

f(x) = (−2x + 1)⁵x = 1

f′(1) =

6.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 7,5x² + 12x − 6. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ + 7,5x² + 12x − 6

x =

7.Metody numeryczneŚredni

Przybliż ∫₀³ sin x dx wzorem trapezów, n = 2, i porównaj z dokładną wartością. Znajdź błąd bezwzględny |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 2

|E| =

8.Metody numeryczneTrudny

Rozwiąż y′ = −2ty, y(0) = 1 metodą Eulera z krokiem h = 0,2 aż do t = 0,6. Rozwiązanie dokładne to y = y₀e^−t². Znajdź błąd globalny |E| = |y(0,6) − y₃|.

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,2

|E| =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: t = 146,7 min

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stała stygnięcia

k = ln(298/196)/42 = 0,009976 min⁻¹

Czas do osiągnięcia celu

t = ln(298/69)/0,009976 = 146,7 min

Odpowiedź

t = 146,7 min

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(3) = 12,33

Czynnik całkujący

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Całkuj

(x¹y)′ = 2x³ → x¹y = 2x⁴/4 + C

Warunek początkowy

−3 = 2/4 + C → C = −3,5

Oblicz

y(3) = (2·3⁴/4 + (−3,5))/3¹ = 12,33

Odpowiedź

y(3) = 12,33

3.Całki

Odpowiedź: I = 5,545

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 4·ln x

Podstaw granice

I = 4·(ln 4 − ln 1) = 4·ln 4 = 5,545

Odpowiedź

I = 5,545

4.Całki

Odpowiedź: V = 428,9

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Punkty przecięcia

4x = 1x² → x = 0, x = 4

Metoda pierścieni

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

Całkuj

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9

Odpowiedź

V = 428,9

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(1) = −10

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 5·(−2x + 1)⁴·(−2)

Podstaw

f′(1) = 5·(−1)⁴·(−2) = −10

Odpowiedź

f′(1) = −10

6.Pochodne

Odpowiedź: x = −4

Pochodna

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −4 lub x = −1

Które jest które

f″(x) = 6x + 15: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −4

Odpowiedź

x = −4

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: |E| = 0,3879

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Wartość dokładna

I = 1,989992

Wzór trapezów

T = (1,5/2)·(0 + 2·0,997495 + 0,14112) = 1,602082

Błąd

|E| = |1,602082 − 1,989992| = 0,3879

Odpowiedź

|E| = 0,3879

Błąd względny: 19,49%.

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: |E| = 0,07512

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₃ = 0,7728

Wartość dokładna

y(0,6) = 0,697676

Błąd globalny

|E| = |0,697676 − 0,7728| = 0,07512

Wykres

Odpowiedź

|E| = 0,07512

Połowienie h z grubsza połowi błąd metody Eulera.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations