Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 7y′ + 12y = 0 z y(0) = 4 i y′(0) = -2. Wyznacz y(0,5).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = -2

y(0.5) =

2.Równania różniczkoweTrudny

Zbiornik zawiera 200 L wody, w której rozpuszczono 20 kg soli. Solanka zawierająca 0,05 kg soli na litr wpływa z natężeniem 20 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Ile soli m jest w zbiorniku po 20 min?

V = 200 Lm₀ = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₂⁴ 2/x dx.

f(x) = 2/x[2, 4]

I =

4.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²

A =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = (2x + 1)⁴. Wyznacz f′(0).

f(x) = (2x + 1)⁴x = 0

f′(0) =

6.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 4,5x² + 2. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ − 4,5x² + 2

x =

7.Metody numeryczneŚredni

Przybliż ∫₀² 1/(1 + x³) dx wzorem trapezów przy n = 5 paskach. Podaj T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 5

T =

8.Metody numeryczneTrudny

Użyj metody Eulera z h = 0,25 dla y′ = −2ty, y(0) = 1, aby oszacować y₅ ≈ y(1,25).

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,25

y₅ =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.5) = 1,77

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki charakterystyczne

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Stałe z wartości początkowych

A + B = 4, −3A − 4B = -2

A = 14, B = −10

Oblicz

y(0,5) = 14·e^−1,5 + (−10)·e⁻² = 1,77

Odpowiedź

y(0,5) = 1,77

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: m = 11,35 kg

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Ułóż równanie

dm/dt = 20·0,05 − (20/200)·m = 1 − 0,1·m

Rozwiąż

Czynnik całkujący to e^rt/V; rozwiązanie dąży do stanu równowagi c·V.

m(t) = 10 + 10·e^−t/10

Podstaw t

m(20) = 10 + 10·0,1353 = 11,35 kg

Odpowiedź

m = 11,35 kg

3.Całki

Odpowiedź: I = 1,386

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 2·ln x

Podstaw granice

I = 2·(ln 4 − ln 2) = 2·ln 2 = 1,386

Odpowiedź

I = 1,386

4.Całki

Odpowiedź: A = 36

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(0) = 8

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa

f′(x) = 4·(2x + 1)³·2

Podstaw

f′(0) = 4·1³·2 = 8

Odpowiedź

f′(0) = 8

6.Pochodne

Odpowiedź: x = 3

Pochodna

f′(x) = 3x² − 9x = 3·(x² − 3x)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = 0 lub x = 3

Które jest które

f″(x) = 6x − 9: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(0) = −9, f″(3) = 9

x = 3

Odpowiedź

x = 3

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: T = 1,088

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Węzły i wartości

h = 0,4

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,93985 + 2·0,661376 + 2·0,366569 + 2·0,196232 + 0,111111 = 5,439164

Wzór trapezów

T = (0,4/2)·5,439164 = 1,088

Odpowiedź

T = 1,088

Ta całka nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, a właśnie wtedy potrzebna jest reguła numeryczna.

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₅ = 0,2051

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₁ = 1 + 0,25·(0) = 1

y₂ = 1 + 0,25·(−0,5) = 0,875

y₃ = 0,875 + 0,25·(−0,875) = 0,65625

y₄ = 0,65625 + 0,25·(−0,984375) = 0,410156

y₅ = 0,410156 + 0,25·(−0,820313) = 0,205078

Wykres

y₅ = 0,2051

Odpowiedź

y₅ = 0,2051

Wartość dokładna to y(1,25) = 0,209611.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations