Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Puszkę napoju o temperaturze 4 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 30 °C. Po 22 min jej temperatura wynosi 21 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Po jakim czasie od początku, t, osiągnie 14 °C?

T₀ = 4 °CT_a = 30 °CT(22) = 21 °CT = 14 °C

t = min

2.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż y″ + 2y′ + 10y = 0 z y(0) = 10 i y′(0) = 0 (start ze spoczynku). Wyznacz y(0,5); kąty w radianach.

y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(0.5) =

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

4.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x² i y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x²·e^2x. Wyznacz f′(2).

f(x) = x²·e^2xx = 2

f′(2) =

6.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = 2x² + 3 w x = −1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = 2x² + 3x = −1

b =

7.Metody numeryczneŚredni

Wzór trapezów stosuje się do ∫₀² eˣ dx. Błąd wynosi co najwyżej (b − a)³·M/(12n²), gdzie M = max|f″| na [0, 2]. Znajdź najmniejszą liczbę pasków n, która gwarantuje błąd poniżej 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Metody numeryczneTrudny

Użyj metody Heuna (ulepszonej metody Eulera) z h = 0,1 dla y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0, aby oszacować y₃ ≈ y(0,3).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1

y₃ =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: t = 10,07 min

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stała stygnięcia

k = ln(-26/-9)/22 = 0,04822 min⁻¹

Czas do osiągnięcia celu

t = ln(-26/(−16))/0,04822 = 10,07 min

Odpowiedź

t = 10,07 min

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.5) = 2,446

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki zespolone

r = −1 ± 3j

Stałe

A = 10, B = 1·10/3 = 3,333

Oblicz

y(0,5) = e^−0,5(10·cos 1,5 + 3,333·sin 1,5) = 2,446

Odpowiedź

y(0,5) = 2,446

3.Całki

Odpowiedź: I = 2,333

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Odpowiedź

I = 2,333

4.Całki

Odpowiedź: A = 1,125

Punkty przecięcia

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Całkuj górną minus dolną

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Odpowiedź

A = 1,125

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 655,2

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

Podstaw

f′(2) = 54,6·(4 + 8) = 655,2

Odpowiedź

f′(2) = 655,2

6.Pochodne

Odpowiedź: b = 1

Punkt i nachylenie

f(−1) = 5

f′(x) = 4x → f′(−1) = −4

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − (−4)·(−1) = 1

Odpowiedź

b = 1

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: n = 702

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Oszacowanie drugiej pochodnej

M = e² = 7,389

Wyznacz n

n² > 8·7,389/(12·1 × 10⁻⁵) = 492604

n > 701,9 → n = 702

Odpowiedź

n = 702

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₃ = 0,3096

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Heuna

y₁ = 0 + (0,1/2)(1 + 1,01) = 0,1005

y₂ = 0,1005 + (0,1/2)(1,01005 + 1,04029) = 0,203017

y₃ = 0,203017 + (0,1/2)(1,040592 + 1,091993) = 0,309646

Wykres

y₃ = 0,3096

Odpowiedź

y₃ = 0,3096

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations