Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Filiżankę kawy o temperaturze 87 °C zostawiono w pokoju o temperaturze 19 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,12 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 28 min.

T₀ = 87 °CT_a = 19 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 28 min

T = °C

2.Równania różniczkoweTrudny

Układ spełnia równanie y″ + 2y′ + 5y = 5 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz y(0,25); kąty w radianach.

y″ + 2y′ + 5y = 5y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀¹ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 1]

I =

4.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²

A =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(3x), x w radianach. Wyznacz f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

6.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 1,5x² − 6x. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ + 1,5x² − 6x

x =

7.Metody numeryczneŚredni

Przybliż ∫₀² 1/√(1 + x⁴) dx wzorem trapezów przy n = 6 paskach. Podaj T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 6

T =

8.Metody numeryczneTrudny

Użyj metody Eulera z h = 0,25 dla y′ = t − y, y(0) = 2, aby oszacować y₄ ≈ y(1).

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,25

y₄ =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: T = 21,36 °C

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Rozwiązanie prawa stygnięcia

T(t) = 19 + 68·e^−0,12t

Podstaw t

T(28) = 19 + 68·0,03474 = 21,36 °C

Odpowiedź

T = 21,36 °C

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.25) = 0,1298

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Wartość ustalona i pierwiastki

y_ss = 1, r = −1 ± 2j

Stałe z wartości początkowych

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −0,5

Oblicz

y(0,25) = 1·(1 − e^−0,25(cos 0,5 + 0,5·sin 0,5)) = 0,1298

Odpowiedź

y(0,25) = 0,1298

3.Całki

Odpowiedź: I = 1,297

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^0,5x/0,5

Podstaw granice

I = (e^0,5 − 1)/0,5 = (1,649 − 1)/0,5 = 1,297

Odpowiedź

I = 1,297

4.Całki

Odpowiedź: A = 36

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(2) = 5,482

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Podstaw

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Odpowiedź

f′(2) = 5,482

6.Pochodne

Odpowiedź: x = −2

Pochodna

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −2 lub x = 1

Które jest które

f″(x) = 6x + 3: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = −2

Odpowiedź

x = −2

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: T = 1,355

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Węzły i wartości

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,993884 + 2·0,913812 + 2·0,707107 + 2·0,490261 + 2·0,338719 + 0,242536 = 8,130101

Wzór trapezów

T = (0,3333/2)·8,130101 = 1,355

Odpowiedź

T = 1,355

Ta całka nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, a właśnie wtedy potrzebna jest reguła numeryczna.

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₄ = 0,9492

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₁ = 2 + 0,25·(−2) = 1,5

y₂ = 1,5 + 0,25·(−1,25) = 1,1875

y₃ = 1,1875 + 0,25·(−0,6875) = 1,015625

y₄ = 1,015625 + 0,25·(−0,265625) = 0,949219

Wykres

y₄ = 0,9492

Odpowiedź

y₄ = 0,9492

Wartość dokładna to y(1) = 1,103638.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations