Elektronika cyfrowa: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Systemy liczbowe

Wagi pozycji: dwójkowy 2^k, ósemkowy 8^k, szesnastkowy 16^k
Na dziesiętny: Σ d_k·b^k
Z dziesiętnego: dziel przez podstawę, czytaj reszty od dołu do góry
Szesnastkowy ↔ dwójkowy: jedna cyfra szesnastkowa = 4 bity
Kod uzupełnień do dwóch (U2): odwróć bity i dodaj 1

Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Podstawowe bramki: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Reguły algebry Boole’a: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Prawa de Morgana: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Kolejność na mapie Karnaugha: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupa 2ᵏ komórek: traci k zmiennych
Multiplekser 4-do-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Przerzutniki: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Liczniki: n-bitowy: 2ⁿ stanów; mod-N: najmniejsze n z 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Licznik asynchroniczny (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Liczniki pierścieniowy i Johnsona: n i 2n stanów

Metoda

Dla układu przechodź od wejść do wyjścia bramka po bramce i zapisuj wartość na każdym przewodzie albo zapisz jego wyrażenie i wypełnij tablicę prawdy.
Przy upraszczaniu wpisz jedynki (a stany nieokreślone jako X) na mapę Karnaugha z wierszami i kolumnami w kodzie Graya: 00, 01, 11, 10.
Pokryj jedynki jak najmniejszą liczbą jak największych grup po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, zawijając przez brzegi; każda grupa to jeden iloczyn ze zmiennych, które pozostają stałe. Dla postaci POS grupuj zera.
Przy przerzutnikach i licznikach odczytuj wejścia przy każdym aktywnym zboczu zegara, zapisuj stan po każdym zboczu i pamiętaj, że n-bitowy licznik zawija się po 2ⁿ stanach.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Częstotliwość aliasu: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Wielkość kroku: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie): ±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu: D = ⌊V_in/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r: 2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych: kanały × f_s × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji: baud = f_clk/(16·D)

Metoda

Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z f_s/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako f_a = |f − k·f_s| dla najbliższej wielokrotności f_s.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = V_FSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

2Zadania do ćwiczenia

1.Systemy liczboweŚredni

Ustaw bity tak, aby zapisywały −82 w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch. Jaka jest wartość wzorca U odczytanego jako liczba bez znaku?

N = −828 bit

U =

2.Systemy liczboweTrudny

Jaka jest najmniejsza (najbardziej ujemna) liczba całkowita N, którą można zapisać w 32-bitowym kodzie U2?

32 bit

N =

3.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiŚredni

Na tej mapie Karnaugha dokładnie jedna jedynka nie ma sąsiedniej jedynki, więc w minimalnej postaci SOP pozostaje grupą jednej komórki (pełnym mintermem o czterech literałach). Sąsiedztwo przez brzegi mapy się liczy. Kliknij tę komórkę.

F = Σm(0, 1, 2, 5, 7, 9, 13, 14)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

4.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiTrudny

Dla F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 8, 11, 13) + d(1, 4, 10), gdzie d oznacza stany nieokreślone, znajdź liczbę N istotnych implikantów prostych.

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 8, 11, 13) + d(1, 4, 10)

N =

5.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni

Rejestrator próbkuje 2 kanałów z częstotliwością 5 kHz każdy, używając 12-bitowego ADC. Każda próbka jest zapisywana w całych bajtach. Wyznacz pamięć M potrzebną na zapis trwający 2 min, w MB (1 MB = 10⁶ bajtów).

n = 2f_s = 5 kHzN = 12t = 2 min

M = MB

6.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny

Pomiar dźwięku wymaga idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji co najmniej 75 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Wyznacz najmniejszą liczbę bitów ADC N.

SQNR ≥ 75 dB

N =

3Roztwory

1.Systemy liczbowe

Odpowiedź: U = 174

Ustawianie bitów: każdy bit ma wartość będącą potęgą dwójki (128, 64, …, 1). Jedna cyfra szesnastkowa to dokładnie cztery bity, a w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch skrajny lewy bit ma wartość −128. Operacje bitowe działają osobno na każdej pozycji bitu.

Odwróć i dodaj jeden

82 = 0101 0010

odwrócone: 1010 1101

+1 → 1010 1110

Odczytaj bez znaku

1010 1110₂ = 256 − 82 = 174

Odpowiedź

U = 174

2.Systemy liczbowe

Odpowiedź: N = −2,147 × 10⁹

Pozycyjne systemy liczbowe: każda cyfra jest warta swoją wartość razy potęgę podstawy. W systemie dwójkowym pozycje są warte 1, 2, 4, 8, 16, …, w szesnastkowym 1, 16, 256, …, a A–F oznaczają 10–15. W 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch skrajny lewy bit jest wart −128 zamiast +128; tak zapisuje się liczby ujemne.

Najbardziej ujemna wartość

−2³¹ = −2147483648

Odpowiedź

N = −2147483648

3.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Odpowiedź: AB = 11, CD = 10

Mapy Karnaugha: komórki są ułożone w kodzie Graya (00, 01, 11, 10), więc sąsiednie komórki, także te przez brzegi, różnią się dokładnie jedną zmienną. Grupuj jedynki w prostokąty po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, jak największe i jak najmniej, aż każda jedynka będzie pokryta. Każda grupa to jeden iloczyn: zmienne, które wewnątrz niej pozostają stałe. Grupa 2ᵏ komórek traci k zmiennych. Stany nieokreślone (X) można wykorzystać, by powiększyć grupy, ale nigdy nie trzeba ich pokrywać. Grupowanie zer daje minimalną postać POS.

Sąsiedzi każdej jedynki

Jedynka z sąsiednią jedynką może dołączyć do grupy dwóch lub więcej.

m14: m15, m12, m10, m6 → 0

Izolowana jedynka

m14 = ABCD′ → AB = 11, CD = 10

Odpowiedź

AB = 11, CD = 10

4.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Odpowiedź: N = 4

Implikanty proste

Największe grupy, jakie można utworzyć z jedynek i X.

B′C, A′CD, A′B′D, AB′D′, ABC′D

Istotne implikanty proste

B′C, A′CD, AB′D′, ABC′D

N = 4

Odpowiedź

N = 4

5.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: M = 2,4 MB

Szybkość danych: każdy kanał dostarcza f_s próbek na sekundę po N bitów, więc surowa szybkość to kanały × f_s × N bit/s. W pamięci próbka zajmuje całe bajty (próbka 12-bitowa jest zapisywana w 2 bajtach), więc pamięć potrzebna na zapis to kanały × f_s × bajty na próbkę × czas. Multipleksowany ADC przetwarza kanały jeden po drugim: każda konwersja (z ustalaniem) trwa t, więc jedna runda n kanałów trwa n·t, a każdy kanał jest próbkowany z częstotliwością 1/(n·t).

Bajty na próbkę

⌈12/8⌉ = 2 B

Strumień bajtów

2·5000·2 = 20000 B/s

Pamięć

M = 20000·120 = 2,4 × 10⁶ B = 2,4 MB

Odpowiedź

M = 2,4 MB

6.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: N = 13

Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali V_FSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊V_in/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.

Rozwiąż względem N

N ≥ (75 − 1,76)/6,02 = 12,17

Zaokrąglij w górę

N = 13

sprawdzenie: 6,02·13 + 1,76 = 80,02 dB ≥ 75 dB

Odpowiedź

N = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics