Elektronika cyfrowa: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Systemy liczbowe

Wagi pozycji: dwójkowy 2^k, ósemkowy 8^k, szesnastkowy 16^k
Na dziesiętny: Σ d_k·b^k
Z dziesiętnego: dziel przez podstawę, czytaj reszty od dołu do góry
Szesnastkowy ↔ dwójkowy: jedna cyfra szesnastkowa = 4 bity
Kod uzupełnień do dwóch (U2): odwróć bity i dodaj 1

Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Podstawowe bramki: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Reguły algebry Boole’a: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Prawa de Morgana: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Kolejność na mapie Karnaugha: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupa 2ᵏ komórek: traci k zmiennych
Multiplekser 4-do-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Przerzutniki: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Liczniki: n-bitowy: 2ⁿ stanów; mod-N: najmniejsze n z 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Licznik asynchroniczny (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Liczniki pierścieniowy i Johnsona: n i 2n stanów

Metoda

Dla układu przechodź od wejść do wyjścia bramka po bramce i zapisuj wartość na każdym przewodzie albo zapisz jego wyrażenie i wypełnij tablicę prawdy.
Przy upraszczaniu wpisz jedynki (a stany nieokreślone jako X) na mapę Karnaugha z wierszami i kolumnami w kodzie Graya: 00, 01, 11, 10.
Pokryj jedynki jak najmniejszą liczbą jak największych grup po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, zawijając przez brzegi; każda grupa to jeden iloczyn ze zmiennych, które pozostają stałe. Dla postaci POS grupuj zera.
Przy przerzutnikach i licznikach odczytuj wejścia przy każdym aktywnym zboczu zegara, zapisuj stan po każdym zboczu i pamiętaj, że n-bitowy licznik zawija się po 2ⁿ stanach.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Częstotliwość aliasu: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Wielkość kroku: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie): ±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu: D = ⌊V_in/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r: 2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych: kanały × f_s × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji: baud = f_clk/(16·D)

Metoda

Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z f_s/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako f_a = |f − k·f_s| dla najbliższej wielokrotności f_s.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = V_FSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

2Zadania do ćwiczenia

1.Systemy liczboweŚredni

Ustaw bity tak, aby zapisywały −60 w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch. Jaka jest wartość wzorca U odczytanego jako liczba bez znaku?

N = −608 bit

U =

2.Systemy liczboweTrudny

Ustaw bity na 8-bitowy wynik działania 1110 0010 OR 1101 0001. Jaka jest wartość wyniku R w zapisie dziesiętnym?

1110 0010OR1101 0001

R =

3.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiŚredni

Użyj mapy Karnaugha, aby znaleźć minimalną postać iloczynu sum (POS) funkcji F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15). Ile sum (czynników) N ona ma?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15)

N =

4.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiTrudny

Przerzutnik JK wyzwalany zboczem narastającym startuje z Q = 0 i dostaje pokazane wejścia. Kliknij pierwsze zbocze zegara, przy którym Q przechodzi z 1 z powrotem na 0.

Q₀ = 0JK

1zbocze zegara 1
2zbocze zegara 2
3zbocze zegara 3
4zbocze zegara 4
5zbocze zegara 5
6zbocze zegara 6
7zbocze zegara 7

5.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni

Czujnik mierzy odległość w zakresie 200 mm, a jego wyjście wypełnia cały zakres wejściowy ADC. Odczyt ma rozróżniać 0,2 mm. Wyznacz najmniejszą liczbę bitów N potrzebną przetwornikowi.

zakres = 200 mmrozdzielczość = 0,2 mm

N =

6.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny

Fala prostokątna 2 kHz jest próbkowana z częstotliwością 10 kHz bez filtra antyaliasingowego. Fala prostokątna zawiera nieparzyste harmoniczne 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Przy jakiej częstotliwości f_a pojawia się w danych jej harmoniczna 3f₁? Podaj ją w kHz.

f₁ = 2 kHzf_s = 10 kHzharmoniczna: 3f₁

f_a = kHz

3Roztwory

1.Systemy liczbowe

Odpowiedź: U = 196

Ustawianie bitów: każdy bit ma wartość będącą potęgą dwójki (128, 64, …, 1). Jedna cyfra szesnastkowa to dokładnie cztery bity, a w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch skrajny lewy bit ma wartość −128. Operacje bitowe działają osobno na każdej pozycji bitu.

Odwróć i dodaj jeden

60 = 0011 1100

odwrócone: 1100 0011

+1 → 1100 0100

Odczytaj bez znaku

1100 0100₂ = 256 − 60 = 196

Odpowiedź

U = 196

2.Systemy liczbowe

Odpowiedź: R = 243

Bit po bicie

OR daje 1 tam, gdzie przynajmniej jeden bit jest równy 1.

1110 0010

OR 1101 0001

= 1111 0011

Wartość wyniku

1111 0011₂ = 243

Odpowiedź

R = 243

3.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Odpowiedź: N = 4

Mapy Karnaugha: komórki są ułożone w kodzie Graya (00, 01, 11, 10), więc sąsiednie komórki, także te przez brzegi, różnią się dokładnie jedną zmienną. Grupuj jedynki w prostokąty po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, jak największe i jak najmniej, aż każda jedynka będzie pokryta. Każda grupa to jeden iloczyn: zmienne, które wewnątrz niej pozostają stałe. Grupa 2ᵏ komórek traci k zmiennych. Stany nieokreślone (X) można wykorzystać, by powiększyć grupy, ale nigdy nie trzeba ich pokrywać. Grupowanie zer daje minimalną postać POS.

Zgrupuj zera

Każda grupa to prostokąt z 2ᵏ komórek; komórki na brzegu sąsiadują z komórkami na przeciwległym brzegu.

(B + C + D)

(A + C + D)

(A + B + C′ + D′)

(A′ + B′ + C′ + D)

Minimalna postać POS

F = (B + C + D)(A + C + D)(A + B + C′ + D′)(A′ + B′ + C′ + D)

N = 4

Odpowiedź

N = 4

4.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Odpowiedź: zbocze zegara 5

Przerzutniki i liczniki: przerzutnik zmienia stan tylko przy aktywnym zboczu zegara. D kopiuje swoje wejście (Q⁺ = D); T zmienia stan na przeciwny, gdy T = 1; JK utrzymuje stan dla 00, zeruje dla 01, ustawia dla 10 i zmienia stan na przeciwny dla 11. N-bitowy licznik binarny ma 2ⁿ stanów i liczy modulo 2ⁿ; licznik mod-N liczy 0, 1, …, N − 1 i wraca do 0, a potrzebuje tylu przerzutników, ile wynosi najmniejsze n z 2ⁿ ≥ N. Każdy stopień licznika asynchronicznego dzieli częstotliwość przez dwa, więc ostatnie wyjście licznika mod-N pracuje z częstotliwością f_clk/N. Licznik Johnsona z n przerzutników ma 2n stanów, licznik pierścieniowy n.

Q po każdym zboczu

Przerzutnik JK: 00 utrzymuje, 01 zeruje (Q = 0), 10 ustawia (Q = 1), 11 zmienia stan na przeciwny.

1: J = 1, K = 1 → Q = 1

2: J = 0, K = 0 → Q = 1

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 0, K = 0 → Q = 1

5: J = 0, K = 1 → Q = 0

6: J = 0, K = 0 → Q = 0

7: J = 0, K = 1 → Q = 0

Pierwsza zmiana z 1 na 0

zbocze zegara 5

Odpowiedź

zbocze zegara 5

5.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: N = 10

Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali V_FSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊V_in/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.

Potrzebna liczba kroków

200/0,2 = 1000

Bity

log₂(1000) = 9,966

2⁹ = 512 < 1000 ≤ 2¹⁰ = 1024

N = 10

Odpowiedź

N = 10

6.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: f_a = 4 kHz

Próbkowanie: ADC mierzy sygnał f_s razy na sekundę. Zgodnie z twierdzeniem Nyquista–Shannona częstotliwość f jest rejestrowana poprawnie tylko wtedy, gdy f < f_s/2, czyli poniżej częstotliwości Nyquista (zawijania), więc częstotliwość próbkowania musi przekraczać dwukrotność najwyższej częstotliwości sygnału. Wyższa częstotliwość nie przepada: pojawia się jako alias przy f_a = |f − k·f_s|, gdzie liczba całkowita k daje wynik między 0 a f_s/2. Próbki nie pozwalają odróżnić tych dwóch sygnałów, dlatego analogowy filtr antyaliasingowy musi usunąć wszystko powyżej f_s/2 przed przetwornikiem ADC.

Częstotliwość harmonicznej

3f₁ = 3·2 kHz = 6 kHz

Najbliższa wielokrotność częstotliwości próbkowania

m = round(0,6) = 1

Częstotliwość aliasu

f_a = |6 − 1·10| = 4 kHz

Odpowiedź

f_a = 4 kHz

Alias ląduje wewnątrz pasma sygnału, gdzie żaden filtr cyfrowy go nie usunie. Pomaga tylko filtr analogowy przed ADC.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics