Elektronika cyfrowa: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Systemy liczbowe

Wagi pozycji: dwójkowy 2^k, ósemkowy 8^k, szesnastkowy 16^k
Na dziesiętny: Σ d_k·b^k
Z dziesiętnego: dziel przez podstawę, czytaj reszty od dołu do góry
Szesnastkowy ↔ dwójkowy: jedna cyfra szesnastkowa = 4 bity
Kod uzupełnień do dwóch (U2): odwróć bity i dodaj 1

Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Podstawowe bramki: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Reguły algebry Boole’a: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Prawa de Morgana: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Kolejność na mapie Karnaugha: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupa 2ᵏ komórek: traci k zmiennych
Multiplekser 4-do-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Przerzutniki: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Liczniki: n-bitowy: 2ⁿ stanów; mod-N: najmniejsze n z 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Licznik asynchroniczny (ripple): f_max = 1/(n·t_pd)
Liczniki pierścieniowy i Johnsona: n i 2n stanów

Metoda

Dla układu przechodź od wejść do wyjścia bramka po bramce i zapisuj wartość na każdym przewodzie albo zapisz jego wyrażenie i wypełnij tablicę prawdy.
Przy upraszczaniu wpisz jedynki (a stany nieokreślone jako X) na mapę Karnaugha z wierszami i kolumnami w kodzie Graya: 00, 01, 11, 10.
Pokryj jedynki jak najmniejszą liczbą jak największych grup po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, zawijając przez brzegi; każda grupa to jeden iloczyn ze zmiennych, które pozostają stałe. Dla postaci POS grupuj zera.
Przy przerzutnikach i licznikach odczytuj wejścia przy każdym aktywnym zboczu zegara, zapisuj stan po każdym zboczu i pamiętaj, że n-bitowy licznik zawija się po 2ⁿ stanach.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Częstotliwość aliasu: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Wielkość kroku: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie): ±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu: D = ⌊V_in/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r: 2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych: kanały × f_s × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji: baud = f_clk/(16·D)

Metoda

Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z f_s/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako f_a = |f − k·f_s| dla najbliższej wielokrotności f_s.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = V_FSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

2Zadania do ćwiczenia

1.Systemy liczboweŚredni

Ustaw bity tak, aby zapisywały −116 w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch. Jaka jest wartość wzorca U odczytanego jako liczba bez znaku?

N = −1168 bit

U =

2.Systemy liczboweTrudny

Ustaw bity na 8-bitowy wynik działania 1001 1010 OR 0101 1111. Jaka jest wartość wyniku R w zapisie dziesiętnym?

1001 1010OR0101 1111

R =

3.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiŚredni

Użyj mapy Karnaugha, aby znaleźć minimalną postać sumy iloczynów (SOP) funkcji F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 14). Ile literałów L zawiera łącznie (zmienna z negacją liczy się jako jeden literał)?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 14)

L =

4.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiTrudny

Przerzutnik D wyzwalany zboczem narastającym startuje z Q = 0 i dostaje pokazane wejścia przy 8 zboczach narastających zegara. Ile razy N Q zmienia stan?

Q₀ = 0D

N =

5.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni

Sinusoida 13,5 kHz jest próbkowana z częstotliwością 10 kHz bez filtra antyaliasingowego. Przy jakiej częstotliwości f_a pojawia się w próbkach? Podaj ją w kHz.

f = 13,5 kHzf_s = 10 kHz

f_a = kHz

6.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny

2-kanałowy multiplekser zasila jeden ADC. Każda konwersja trwa 4 µs, a po każdym przełączeniu kanału wejście potrzebuje 2,5 µs na ustalenie się. Kanały są skanowane po kolei bez przerw. Wyznacz częstotliwość próbkowania f_s każdego kanału, w kHz.

n = 2t_c = 4 µst_set = 2,5 µs

f_s = kHz

3Roztwory

1.Systemy liczbowe

Odpowiedź: U = 140

Ustawianie bitów: każdy bit ma wartość będącą potęgą dwójki (128, 64, …, 1). Jedna cyfra szesnastkowa to dokładnie cztery bity, a w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch skrajny lewy bit ma wartość −128. Operacje bitowe działają osobno na każdej pozycji bitu.

Odwróć i dodaj jeden

116 = 0111 0100

odwrócone: 1000 1011

+1 → 1000 1100

Odczytaj bez znaku

1000 1100₂ = 256 − 116 = 140

Odpowiedź

U = 140

2.Systemy liczbowe

Odpowiedź: R = 223

Bit po bicie

OR daje 1 tam, gdzie przynajmniej jeden bit jest równy 1.

1001 1010

OR 0101 1111

= 1101 1111

Wartość wyniku

1101 1111₂ = 223

Odpowiedź

R = 223

3.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Odpowiedź: L = 16

Mapy Karnaugha: komórki są ułożone w kodzie Graya (00, 01, 11, 10), więc sąsiednie komórki, także te przez brzegi, różnią się dokładnie jedną zmienną. Grupuj jedynki w prostokąty po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, jak największe i jak najmniej, aż każda jedynka będzie pokryta. Każda grupa to jeden iloczyn: zmienne, które wewnątrz niej pozostają stałe. Grupa 2ᵏ komórek traci k zmiennych. Stany nieokreślone (X) można wykorzystać, by powiększyć grupy, ale nigdy nie trzeba ich pokrywać. Grupowanie zer daje minimalną postać POS.

Zgrupuj jedynki

Każda grupa to prostokąt z 2ᵏ komórek; komórki na brzegu sąsiadują z komórkami na przeciwległym brzegu.

B′CD′

A′CD

AC′D

ACD′

A′BC′D′

Minimalna postać SOP

F = B′CD′ + A′CD + AC′D + ACD′ + A′BC′D′

L = 16

Odpowiedź

L = 16

Istnieje inne grupowanie tego samego rozmiaru; ma tę samą liczbę składników i literałów.

4.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Odpowiedź: N = 5

Przerzutniki i liczniki: przerzutnik zmienia stan tylko przy aktywnym zboczu zegara. D kopiuje swoje wejście (Q⁺ = D); T zmienia stan na przeciwny, gdy T = 1; JK utrzymuje stan dla 00, zeruje dla 01, ustawia dla 10 i zmienia stan na przeciwny dla 11. N-bitowy licznik binarny ma 2ⁿ stanów i liczy modulo 2ⁿ; licznik mod-N liczy 0, 1, …, N − 1 i wraca do 0, a potrzebuje tylu przerzutników, ile wynosi najmniejsze n z 2ⁿ ≥ N. Każdy stopień licznika asynchronicznego dzieli częstotliwość przez dwa, więc ostatnie wyjście licznika mod-N pracuje z częstotliwością f_clk/N. Licznik Johnsona z n przerzutników ma 2n stanów, licznik pierścieniowy n.

Q po każdym zboczu

Przerzutnik D kopiuje D przy każdym zboczu narastającym: Q⁺ = D.

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 0 → Q = 0

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 1 → Q = 1

8: D = 1 → Q = 1

Policz zmiany

0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 1 → 1

N = 5

Odpowiedź

N = 5

5.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: f_a = 3,5 kHz

Próbkowanie: ADC mierzy sygnał f_s razy na sekundę. Zgodnie z twierdzeniem Nyquista–Shannona częstotliwość f jest rejestrowana poprawnie tylko wtedy, gdy f < f_s/2, czyli poniżej częstotliwości Nyquista (zawijania), więc częstotliwość próbkowania musi przekraczać dwukrotność najwyższej częstotliwości sygnału. Wyższa częstotliwość nie przepada: pojawia się jako alias przy f_a = |f − k·f_s|, gdzie liczba całkowita k daje wynik między 0 a f_s/2. Próbki nie pozwalają odróżnić tych dwóch sygnałów, dlatego analogowy filtr antyaliasingowy musi usunąć wszystko powyżej f_s/2 przed przetwornikiem ADC.

Częstotliwość Nyquista

f_s/2 = 5 kHz < f = 13,5 kHz

Najbliższa wielokrotność częstotliwości próbkowania

k = round(13,5/10) = 1

Częstotliwość aliasu

f_a = |13,5 − 1·10| = 3,5 kHz

Odpowiedź

f_a = 3,5 kHz

Przerywana krzywa na rysunku to alias: przechodzi dokładnie przez te same próbki.

6.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: f_s = 76,92 kHz

Szybkość danych: każdy kanał dostarcza f_s próbek na sekundę po N bitów, więc surowa szybkość to kanały × f_s × N bit/s. W pamięci próbka zajmuje całe bajty (próbka 12-bitowa jest zapisywana w 2 bajtach), więc pamięć potrzebna na zapis to kanały × f_s × bajty na próbkę × czas. Multipleksowany ADC przetwarza kanały jeden po drugim: każda konwersja (z ustalaniem) trwa t, więc jedna runda n kanałów trwa n·t, a każdy kanał jest próbkowany z częstotliwością 1/(n·t).

Czas na kanał

4 + 2,5 = 6,5 µs

Czas skanu

2·6,5 = 13 µs

Częstotliwość próbkowania kanału

f_s = 1/13 µs = 76,92 kHz

Odpowiedź

f_s = 76,92 kHz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics