Elektronika cyfrowa: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Systemy liczbowe

Wagi pozycji
dwójkowy 2k, ósemkowy 8k, szesnastkowy 16k
Na dziesiętny
Σ dk·bk
Z dziesiętnego
dziel przez podstawę, czytaj reszty od dołu do góry
Szesnastkowy ↔ dwójkowy
jedna cyfra szesnastkowa = 4 bity
Kod uzupełnień do dwóch (U2)
odwróć bity i dodaj 1

Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Podstawowe bramki
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Reguły algebry Boole’a
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Prawa de Morgana
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Kolejność na mapie Karnaugha
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Grupa 2ᵏ komórek
traci k zmiennych
Multiplekser 4-do-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Przerzutniki
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Liczniki
n-bitowy: 2ⁿ stanów; mod-N: najmniejsze n z 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Licznik asynchroniczny (ripple)
fmax = 1/(n·tpd)
Liczniki pierścieniowy i Johnsona
n i 2n stanów

Metoda

  1. Dla układu przechodź od wejść do wyjścia bramka po bramce i zapisuj wartość na każdym przewodzie albo zapisz jego wyrażenie i wypełnij tablicę prawdy.
  2. Przy upraszczaniu wpisz jedynki (a stany nieokreślone jako X) na mapę Karnaugha z wierszami i kolumnami w kodzie Graya: 00, 01, 11, 10.
  3. Pokryj jedynki jak najmniejszą liczbą jak największych grup po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, zawijając przez brzegi; każda grupa to jeden iloczyn ze zmiennych, które pozostają stałe. Dla postaci POS grupuj zera.
  4. Przy przerzutnikach i licznikach odczytuj wejścia przy każdym aktywnym zboczu zegara, zapisuj stan po każdym zboczu i pamiętaj, że n-bitowy licznik zawija się po 2ⁿ stanach.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Częstotliwość aliasu
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Wielkość kroku
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie)
±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu
D = ⌊Vin/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r
2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych
kanały × fs × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji
baud = fclk/(16·D)

Metoda

  1. Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
  2. W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z fs/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako fa = |f − k·fs| dla najbliższej wielokrotności fs.
  3. W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = VFSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
  4. W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

2Zadania do ćwiczenia

1.Systemy liczboweŚredni
8-bitowy kod U20−12806403201608040201

Ustaw bity tak, aby zapisywały −79 w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch. Jaka jest wartość wzorca U odczytanego jako liczba bez znaku?

N = −798 bit
U =
2.Systemy liczboweTrudny
32 bit1 px1024 px768 pxM = ? KiB

Nieskompresowany obraz ma 1024 × 768 pikseli i 32 bitów na piksel. Ile pamięci M zajmuje, w KiB (1 KiB = 1024 bajty)?

1024 × 768 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiŚredni
ABCD000111100001111010110302040507061120130150141809111010

Użyj mapy Karnaugha, aby znaleźć minimalną postać iloczynu sum (POS) funkcji F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 8, 11, 12). Ile sum (czynników) N ona ma?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 8, 11, 12)
N =
4.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutnikiTrudny
ABCD000111100001111010X1X3020415071601211311501408X9X11X10

Znajdź minimalną postać SOP funkcji F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 13, 15) + d(1, 3, 9, 10, 11), gdzie d oznacza stany nieokreślone. Ile iloczynów N ona zawiera?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 13, 15) + d(1, 3, 9, 10, 11)
N =
5.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni
Vin​N = 103,3 V2ᴺ − 101 LSB0,746 V?

10-bitowy ADC o zakresie wejściowym od 0 do 3,3 V obcina: jego kod wyjściowy to ⌊Vin/LSB⌋, gdzie 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Wyznacz dziesiętny kod wyjściowy D dla napięcia wejściowego 0,746 V.

N = 10VFSR = 3,3 VVin = 0,746 V
D =
6.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Pomiar dźwięku wymaga idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji co najmniej 96 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Wyznacz najmniejszą liczbę bitów ADC N.

SQNR ≥ 96 dB
N =

3Roztwory

1.Systemy liczbowe

Odpowiedź: U = 177

Ustawianie bitów: każdy bit ma wartość będącą potęgą dwójki (128, 64, …, 1). Jedna cyfra szesnastkowa to dokładnie cztery bity, a w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch skrajny lewy bit ma wartość −128. Operacje bitowe działają osobno na każdej pozycji bitu.

Odwróć i dodaj jeden

79 = 0100 1111
odwrócone: 1011 0000
+1 → 1011 0001

Odczytaj bez znaku

1011 0001₂ = 256 − 79 = 177

Odpowiedź

U = 177
2.Systemy liczbowe

Odpowiedź: M = 3072 KiB

Pozycyjne systemy liczbowe: każda cyfra jest warta swoją wartość razy potęgę podstawy. W systemie dwójkowym pozycje są warte 1, 2, 4, 8, 16, …, w szesnastkowym 1, 16, 256, …, a A–F oznaczają 10–15. W 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch skrajny lewy bit jest wart −128 zamiast +128; tak zapisuje się liczby ujemne.

Bity i bajty

1024·768·32 = 25165824 bit = 3145728 B

Zamień na KiB

3145728/1024 = 3072 KiB

Odpowiedź

M = 3072 KiB
3.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Odpowiedź: N = 5

Mapy Karnaugha: komórki są ułożone w kodzie Graya (00, 01, 11, 10), więc sąsiednie komórki, także te przez brzegi, różnią się dokładnie jedną zmienną. Grupuj jedynki w prostokąty po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, jak największe i jak najmniej, aż każda jedynka będzie pokryta. Każda grupa to jeden iloczyn: zmienne, które wewnątrz niej pozostają stałe. Grupa 2ᵏ komórek traci k zmiennych. Stany nieokreślone (X) można wykorzystać, by powiększyć grupy, ale nigdy nie trzeba ich pokrywać. Grupowanie zer daje minimalną postać POS.

ABCD000111100001111010110302040507061120130150141809111010

Zgrupuj zera

Każda grupa to prostokąt z 2ᵏ komórek; komórki na brzegu sąsiadują z komórkami na przeciwległym brzegu.

(C′ + D)
(B′ + D′)
(A + C′)
(A′ + C + D′)
(A + B′)

Minimalna postać POS

F = (C′ + D)(B′ + D′)(A + C′)(A′ + C + D′)(A + B′)
N = 5

Odpowiedź

N = 5

Istnieje inne grupowanie tego samego rozmiaru; ma tę samą liczbę składników i literałów.

4.Logika cyfrowa: bramki, mapy Karnaugha i przerzutniki

Odpowiedź: N = 4

Mapy Karnaugha: komórki są ułożone w kodzie Graya (00, 01, 11, 10), więc sąsiednie komórki, także te przez brzegi, różnią się dokładnie jedną zmienną. Grupuj jedynki w prostokąty po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, jak największe i jak najmniej, aż każda jedynka będzie pokryta. Każda grupa to jeden iloczyn: zmienne, które wewnątrz niej pozostają stałe. Grupa 2ᵏ komórek traci k zmiennych. Stany nieokreślone (X) można wykorzystać, by powiększyć grupy, ale nigdy nie trzeba ich pokrywać. Grupowanie zer daje minimalną postać POS.

Implikanty proste

Największe grupy, jakie można utworzyć z jedynek i X.

C′D, AD, A′B′C′, A′BCD′
ABCD000111100001111010X1X3020415071601211311501408X9X11X10

Minimalne pokrycie

F = C′D + AD + A′B′C′ + A′BCD′
N = 4

Odpowiedź

N = 4
5.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: D = 231

Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali VFSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = VFSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊Vin/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.

Wielkość kroku

1 LSB = 3,3/210 = 3,223 mV

Kod

Vin/LSB = 746/3,223 = 231,5
kod = ⌊231,5⌋ = 231

Odpowiedź

D = 231

Zapisany dwójkowo to 0011100111.

6.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: N = 16

Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali VFSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = VFSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊Vin/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.

Rozwiąż względem N

N ≥ (96 − 1,76)/6,02 = 15,65

Zaokrąglij w górę

N = 16
sprawdzenie: 6,02·16 + 1,76 = 98,08 dB ≥ 96 dB

Odpowiedź

N = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics