Narysuj diagram Venna i rozstrzygnij obszar po obszarze, co należy do wyrażenia na zbiorach.
W zadaniach na zliczanie wypełniaj obszary od środka na zewnątrz: najpierw wszystkie zbiory, potem pary, potem pojedyncze zbiory, na końcu zewnętrze.
Użyj zasady włączeń i wyłączeń do sprawdzenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Dla relacji sprawdź każdą własność na każdej parze i podaj jeden kontrprzykład, gdy zawodzi.
Dla funkcji policz strzałki wchodzące do każdego elementu B: co najwyżej jedna oznacza różnowartościowość, co najmniej jedna – surjekcję.
Teoria grafów
Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij
Metoda
Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).
Teoria liczb i arytmetyka modularna
Dzielenie z resztą
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Najmniejsza wspólna wielokrotność
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Odwrotność
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruencja liniowa
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funkcja φ Eulera
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metoda
Najpierw zredukuj każdą liczbę modulo n; reszty leżą między 0 a n − 1.
Aby znaleźć NWD, dziel wielokrotnie algorytmem Euklidesa; ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Aby znaleźć element odwrotny, uruchom rozszerzony algorytm i zachowaj współczynnik przy a; dodaj n, jeśli jest ujemny.
Rozwiąż a·x ≡ b, mnożąc przez a⁻¹; dwie kongruencje połącz, zapisując x = r₁ + m₁k.
Przy potęgach zapisz wykładnik binarnie i wielokrotnie podnoś do kwadratu; w RSA d = e⁻¹ mod φ(n), gdzie φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Zadania do ćwiczenia
1.Rachunek zdań i dowodyŚredni
Która formuła jest logicznie równoważna r ∧ (p ∨ q)? Kliknij ją.
r ∧ (p ∨ q)
1(r ∧ p) ∨ q
2r ∨ (p ∧ q)
3(r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
4(r ∨ p) ∧ (r ∨ q)
2.Rachunek zdań i dowodyTrudny
Które zdanie jest równoważne ¬∃x ∀y R(x, y), gdy negację przesunięto całkiem do środka? Kliknij je.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∃x ∃y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)
3.Zbiory, relacje i funkcjeŚredni
Każda liczba na diagramie Venna to liczba elementów w danym obszarze. Znajdź |(C′ ∪ A′) − (C′ ∩ A)|.
|U| = 58
|(C′ ∪ A′) − (C′ ∩ A)| =
4.Zbiory, relacje i funkcjeTrudny
Diagram strzałkowy przedstawia funkcję f: A → B, gdzie A = {1, 2, 3, 4} i B = {a, b, c, d, e}. Kliknij opis, który pasuje do f.
f = {(1, c), (2, d), (3, b), (4, a)}
1injekcja, nie surjekcja
2surjekcja, nie injekcja
3bijekcja
4ani jedno, ani drugie
5.Teoria grafówŚredni
Graf spójny: liczba wierzchołków 13, liczba krawędzi 17. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?
|V| = 13|E| = 17
k =
6.Teoria grafówTrudny
Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.
M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =
7.Teoria liczb i arytmetyka modularnaŚredni
Znajdź najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą x, dla której x ≡ 1 (mod 4) i x ≡ 4 (mod 7).
x ≡ 1 (mod 4)x ≡ 4 (mod 7)
x =
8.Teoria liczb i arytmetyka modularnaTrudny
Ile rozwiązań N ma 20x ≡ 18 (mod 38) w zbiorze {0, 1, …, 37}?
20x ≡ 18 (mod 38)
N =
3Roztwory
1.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
Równoważność logiczna: dwie formuły są równoważne (≡), gdy mają tę samą wartość w każdym wierszu tablicy prawdy. Tautologia jest równa 1 w każdym wierszu, kontradykcja 0 w każdym wierszu, a formuła kontyngentna nie jest ani jednym, ani drugim. Przydatne prawa: prawa de Morgana, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b oraz ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozycja); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; oraz prawa rozdzielności, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Prawo
∧ jest rozdzielne względem ∨: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
r ∧ (p ∨ q) ≡ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
Sprawdź tablicą prawdy
p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 0 | 1 1 0 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 1 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 1 0 1
p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
Odpowiedź
(r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
Kolumny po kresce to opcje w pokazanej kolejności.
2.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Kwantyfikatory i wnioskowania: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) oraz ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Przesuń negację do środka, zamień każdy kwantyfikator, który mija, i zaneguj formułę wewnętrzną prawami rachunku zdań, takimi jak ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Wnioskowanie jest poprawne, gdy wniosek jest równy 1 w każdym wierszu, w którym wszystkie przesłanki są równe 1. Pojedynczy wiersz z prawdziwymi przesłankami i fałszywym wnioskiem jest kontrprzykładem i pokazuje, że wnioskowanie jest niepoprawne.
Przesuń negację do środka
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Odpowiedź
∀x ∃y ¬R(x, y)
Pozostałe opcje albo zostawiają kwantyfikator bez zmian, albo zmieniają kolejność kwantyfikatorów, albo błędnie negują formułę wewnętrzną.
3.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: |(C′ ∪ A′) − (C′ ∩ A)| = 27
Zbiory i diagramy Venna: A ∪ B zawiera elementy należące do A lub B (lub obu), A ∩ B elementy należące do obu, A − B elementy A, które nie należą do B, a dopełnienie A′ wszystko w U, co nie należy do A. Na diagramie Venna każde wyrażenie na zbiorach jest sumą obszarów, więc zliczaj je obszar po obszarze. Włączenia i wyłączenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| oraz |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Obszary wyrażenia
A′ ∩ B′ ∩ C′: 1
A′ ∩ B ∩ C′: 7
A′ ∩ B′ ∩ C: 10
A′ ∩ B ∩ C: 9
Dodaj
|(C′ ∪ A′) − (C′ ∩ A)| = 1 + 7 + 10 + 9 = 27
Odpowiedź
|(C′ ∪ A′) − (C′ ∩ A)| = 27
4.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: injekcja, nie surjekcja
Funkcje i zliczanie: funkcja f: A → B przypisuje każdemu elementowi A dokładnie jeden obraz w B. f jest różnowartościowa (injekcja), gdy różne elementy mają różne obrazy, „na” (surjekcja), gdy każdy element B jest obrazem, i wzajemnie jednoznaczna (bijekcja), gdy zachodzą oba warunki. Dla |A| = m i |B| = n jest nᵐ funkcji, n!/(n − m)! różnowartościowych (m ≤ n) oraz, z zasady włączeń i wyłączeń, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ funkcji „na”. |𝒫(A)| = 2ᵐ i |A × B| = m·n.
Injekcja?
każdy element B jest trafiony co najwyżej raz → injekcja
Surjekcja?
e nie otrzymuje strzałki → nie jest surjekcją
Odpowiedź
injekcja, nie surjekcja
Odpowiedź
injekcja, nie surjekcja
5.Teoria grafów
Odpowiedź: k = 5
Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.
Krawędzie drzewa rozpinającego
13 − 1 = 12
Krawędzie do usunięcia
k = 17 − 12 = 5
Odpowiedź
k = 5
6.Teoria grafów
Odpowiedź: N = 4
Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.
Macierz sąsiedztwa
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Wspólni sąsiedzi
(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4
Odpowiedź
N = 4
7.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: x = 25
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Pierwsza kongruencja
x = 1 + 4k
Druga kongruencja
1 + 4k ≡ 4 (mod 7) → 4k ≡ 3 (mod 7)
k ≡ 2·3 ≡ 6 (mod 7)
Wynik
x = 1 + 4·6 = 25
x = 25
sprawdzenie: 25 mod 4 = 1, 25 mod 7 = 4
Odpowiedź
x = 25
8.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: N = 2
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).