Narysuj diagram Venna i rozstrzygnij obszar po obszarze, co należy do wyrażenia na zbiorach.
W zadaniach na zliczanie wypełniaj obszary od środka na zewnątrz: najpierw wszystkie zbiory, potem pary, potem pojedyncze zbiory, na końcu zewnętrze.
Użyj zasady włączeń i wyłączeń do sprawdzenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Dla relacji sprawdź każdą własność na każdej parze i podaj jeden kontrprzykład, gdy zawodzi.
Dla funkcji policz strzałki wchodzące do każdego elementu B: co najwyżej jedna oznacza różnowartościowość, co najmniej jedna – surjekcję.
Teoria grafów
Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij
Metoda
Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).
Teoria liczb i arytmetyka modularna
Dzielenie z resztą
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Najmniejsza wspólna wielokrotność
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Odwrotność
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruencja liniowa
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funkcja φ Eulera
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metoda
Najpierw zredukuj każdą liczbę modulo n; reszty leżą między 0 a n − 1.
Aby znaleźć NWD, dziel wielokrotnie algorytmem Euklidesa; ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Aby znaleźć element odwrotny, uruchom rozszerzony algorytm i zachowaj współczynnik przy a; dodaj n, jeśli jest ujemny.
Rozwiąż a·x ≡ b, mnożąc przez a⁻¹; dwie kongruencje połącz, zapisując x = r₁ + m₁k.
Przy potęgach zapisz wykładnik binarnie i wielokrotnie podnoś do kwadratu; w RSA d = e⁻¹ mod φ(n), gdzie φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Zadania do ćwiczenia
1.Rachunek zdań i dowodyŚredni
Chcesz udowodnić ¬c → (a ∧ b) nie wprost. Jakie zdanie zakładasz na początku? Kliknij je.
¬c → (a ∧ b)
1¬¬c → ¬(a ∧ b)
2¬¬c ∧ (a ∧ b)
3¬¬c ∧ ¬(a ∧ b)
4¬c ∧ ¬(a ∧ b)
2.Rachunek zdań i dowodyTrudny
Które zdanie jest równoważne ¬∃x ∀y R(x, y), gdy negację przesunięto całkiem do środka? Kliknij je.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∃x ∃y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)
3.Zbiory, relacje i funkcjeŚredni
Spośród 63 studentów pierwszego roku matematykę (M) zaliczyło 30, fizykę (P) 35, a chemię (C) 33. M i P zaliczyło 18, M i C 13, P i C 12, a wszystkie trzy 5. Ile elementów nie należy do żadnego z trzech zbiorów?
|U| = 63
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.Zbiory, relacje i funkcjeTrudny
Funkcje f i g na {1, 2, 3, 4, 5} są dane tabelami. Znajdź (g ∘ f)(1).
Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.
|V| = 6|E| = 6
1Cykl Eulera
2Ścieżka Eulera, bez cyklu
3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
Ile jest marszów o długości 3 z D do A? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.
M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =
7.Teoria liczb i arytmetyka modularnaŚredni
Znajdź najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą x, dla której x ≡ 1 (mod 7) i x ≡ 6 (mod 9).
x ≡ 1 (mod 7)x ≡ 6 (mod 9)
x =
8.Teoria liczb i arytmetyka modularnaTrudny
Ile rozwiązań N ma 66x ≡ 34 (mod 68) w zbiorze {0, 1, …, 67}?
66x ≡ 34 (mod 68)
N =
3Roztwory
1.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: ¬c ∧ ¬(a ∧ b)
Równoważność logiczna: dwie formuły są równoważne (≡), gdy mają tę samą wartość w każdym wierszu tablicy prawdy. Tautologia jest równa 1 w każdym wierszu, kontradykcja 0 w każdym wierszu, a formuła kontyngentna nie jest ani jednym, ani drugim. Przydatne prawa: prawa de Morgana, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b oraz ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozycja); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; oraz prawa rozdzielności, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Części implikacji
a = ¬c, b = a ∧ b
Zaprzeczenie implikacji
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬c ∧ ¬(a ∧ b)
Odpowiedź
¬c ∧ ¬(a ∧ b)
Jeśli założenie prowadzi do sprzeczności, implikacja musi być prawdziwa.
2.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Kwantyfikatory i wnioskowania: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) oraz ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Przesuń negację do środka, zamień każdy kwantyfikator, który mija, i zaneguj formułę wewnętrzną prawami rachunku zdań, takimi jak ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Wnioskowanie jest poprawne, gdy wniosek jest równy 1 w każdym wierszu, w którym wszystkie przesłanki są równe 1. Pojedynczy wiersz z prawdziwymi przesłankami i fałszywym wnioskiem jest kontrprzykładem i pokazuje, że wnioskowanie jest niepoprawne.
Przesuń negację do środka
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Odpowiedź
∀x ∃y ¬R(x, y)
Pozostałe opcje albo zostawiają kwantyfikator bez zmian, albo zmieniają kolejność kwantyfikatorów, albo błędnie negują formułę wewnętrzną.
3.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: |(M ∪ P ∪ C)′| = 3
Zbiory i diagramy Venna: A ∪ B zawiera elementy należące do A lub B (lub obu), A ∩ B elementy należące do obu, A − B elementy A, które nie należą do B, a dopełnienie A′ wszystko w U, co nie należy do A. Na diagramie Venna każde wyrażenie na zbiorach jest sumą obszarów, więc zliczaj je obszar po obszarze. Włączenia i wyłączenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| oraz |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Środek i pary
M ∩ P ∩ C: 5
M ∩ P tylko: 18 − 5 = 13
M ∩ C tylko: 13 − 5 = 8
P ∩ C tylko: 12 − 5 = 7
Pojedyncze zbiory
M tylko: 30 − 13 − 8 − 5 = 4
P tylko: 35 − 13 − 7 − 5 = 10
C tylko: 33 − 8 − 7 − 5 = 13
Odpowiedź
|M ∪ P ∪ C| = 60
|(M ∪ P ∪ C)′| = 63 − 60 = 3
Odpowiedź
|(M ∪ P ∪ C)′| = 3
4.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: (g ∘ f)(1) = 1
Funkcje i zliczanie: funkcja f: A → B przypisuje każdemu elementowi A dokładnie jeden obraz w B. f jest różnowartościowa (injekcja), gdy różne elementy mają różne obrazy, „na” (surjekcja), gdy każdy element B jest obrazem, i wzajemnie jednoznaczna (bijekcja), gdy zachodzą oba warunki. Dla |A| = m i |B| = n jest nᵐ funkcji, n!/(n − m)! różnowartościowych (m ≤ n) oraz, z zasady włączeń i wyłączeń, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ funkcji „na”. |𝒫(A)| = 2ᵐ i |A × B| = m·n.
Funkcja wewnętrzna
f(1) = 1
Funkcja zewnętrzna
g(1) = 1
(g ∘ f)(1) = 1
Odpowiedź
(g ∘ f)(1) = 1
5.Teoria grafów
Odpowiedź: Cykl Eulera
Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.
Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.
Macierz sąsiedztwa
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Jeszcze jeden krok
(M³)DA = 1·0 + 1·1 + 2·1 + 2·0 + 1·0 = 3
Odpowiedź
N = 3
7.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: x = 15
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Pierwsza kongruencja
x = 1 + 7k
Druga kongruencja
1 + 7k ≡ 6 (mod 9) → 7k ≡ 5 (mod 9)
k ≡ 4·5 ≡ 2 (mod 9)
Wynik
x = 1 + 7·2 = 15
x = 15
sprawdzenie: 15 mod 7 = 1, 15 mod 9 = 6
Odpowiedź
x = 15
8.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: N = 2
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).