Narysuj diagram Venna i rozstrzygnij obszar po obszarze, co należy do wyrażenia na zbiorach.
W zadaniach na zliczanie wypełniaj obszary od środka na zewnątrz: najpierw wszystkie zbiory, potem pary, potem pojedyncze zbiory, na końcu zewnętrze.
Użyj zasady włączeń i wyłączeń do sprawdzenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Dla relacji sprawdź każdą własność na każdej parze i podaj jeden kontrprzykład, gdy zawodzi.
Dla funkcji policz strzałki wchodzące do każdego elementu B: co najwyżej jedna oznacza różnowartościowość, co najmniej jedna – surjekcję.
Teoria grafów
Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij
Metoda
Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).
Teoria liczb i arytmetyka modularna
Dzielenie z resztą
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Najmniejsza wspólna wielokrotność
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Odwrotność
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruencja liniowa
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funkcja φ Eulera
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metoda
Najpierw zredukuj każdą liczbę modulo n; reszty leżą między 0 a n − 1.
Aby znaleźć NWD, dziel wielokrotnie algorytmem Euklidesa; ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Aby znaleźć element odwrotny, uruchom rozszerzony algorytm i zachowaj współczynnik przy a; dodaj n, jeśli jest ujemny.
Rozwiąż a·x ≡ b, mnożąc przez a⁻¹; dwie kongruencje połącz, zapisując x = r₁ + m₁k.
Przy potęgach zapisz wykładnik binarnie i wielokrotnie podnoś do kwadratu; w RSA d = e⁻¹ mod φ(n), gdzie φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Zadania do ćwiczenia
1.Rachunek zdań i dowodyŚredni
Czy (p → r) ↔ (¬r → ¬p) jest tautologią, kontradykcją czy kontyngencją? Kliknij swoją odpowiedź.
(p → r) ↔ (¬r → ¬p)
1tautologia
2kontradykcja
3kontyngencja
2.Rachunek zdań i dowodyTrudny
Wnioskowanie z przesłankami r ∨ q; r i wnioskiem ¬q jest niepoprawne. Kliknij wiersz tablicy prawdy, który jest kontrprzykładem.
r ∨ qr∴ ¬q
1q = 1, r = 1
2q = 1, r = 0
3q = 0, r = 1
4q = 0, r = 0
3.Zbiory, relacje i funkcjeŚredni
W grupie 44 studentów po francusku mówi 15 (F), po niemiecku 32 (G), a w obu językach 5. Ile elementów nie należy do żadnego z dwóch zbiorów?
|U| = 44|F| = 15|G| = 32|F ∩ G| = 5
|(F ∪ G)′| =
4.Zbiory, relacje i funkcjeTrudny
Funkcje f i g na {1, 2, 3, 4, 5} są dane tabelami. Znajdź (f ∘ f)(3).
Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.
|V| = 5|E| = 6
1Cykl Eulera
2Ścieżka Eulera, bez cyklu
3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.
|V| = 7|E| = 11
W =
7.Teoria liczb i arytmetyka modularnaŚredni
Znajdź element odwrotny do 33 modulo 61: liczbę x, dla której 0 < x < 61 oraz 33·x ≡ 1 (mod 61).
a = 33n = 61
33−1 mod 61 =
8.Teoria liczb i arytmetyka modularnaTrudny
Ile rozwiązań N ma 15x ≡ 12 (mod 51) w zbiorze {0, 1, …, 50}?
15x ≡ 12 (mod 51)
N =
3Roztwory
1.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: tautologia
Równoważność logiczna: dwie formuły są równoważne (≡), gdy mają tę samą wartość w każdym wierszu tablicy prawdy. Tautologia jest równa 1 w każdym wierszu, kontradykcja 0 w każdym wierszu, a formuła kontyngentna nie jest ani jednym, ani drugim. Przydatne prawa: prawa de Morgana, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b oraz ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozycja); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; oraz prawa rozdzielności, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tablica prawdy wiersz po wierszu
p = 1, r = 1: p → r = 1, ¬r = 0, ¬p = 0, ¬r → ¬p = 1, (p → r) ↔ (¬r → ¬p) = 1
p = 1, r = 0: p → r = 0, ¬r = 1, ¬p = 0, ¬r → ¬p = 0, (p → r) ↔ (¬r → ¬p) = 1
p = 0, r = 1: p → r = 1, ¬r = 0, ¬p = 1, ¬r → ¬p = 1, (p → r) ↔ (¬r → ¬p) = 1
p = 0, r = 0: p → r = 1, ¬r = 1, ¬p = 1, ¬r → ¬p = 1, (p → r) ↔ (¬r → ¬p) = 1
Sklasyfikuj
(p → r) ↔ (¬r → ¬p): 1, 1, 1, 1
1 w każdym wierszu: tautologia.
Odpowiedź
tautologia
2.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: q = 1, r = 1
Kwantyfikatory i wnioskowania: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) oraz ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Przesuń negację do środka, zamień każdy kwantyfikator, który mija, i zaneguj formułę wewnętrzną prawami rachunku zdań, takimi jak ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Wnioskowanie jest poprawne, gdy wniosek jest równy 1 w każdym wierszu, w którym wszystkie przesłanki są równe 1. Pojedynczy wiersz z prawdziwymi przesłankami i fałszywym wnioskiem jest kontrprzykładem i pokazuje, że wnioskowanie jest niepoprawne.
Przesłanki i wniosek wiersz po wierszu
q = 1, r = 1: 1 1 | 0
q = 1, r = 0: 1 0 | 0
q = 0, r = 1: 1 1 | 1
q = 0, r = 0: 0 0 | 1
Kontrprzykład
q = 1, r = 1
Odpowiedź
q = 1, r = 1
Wnioskowanie o tej postaci wygląda jak poprawna reguła, ale jeden wiersz wystarczy, by pokazać, że nią nie jest.
3.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: |(F ∪ G)′| = 2
Zbiory i diagramy Venna: A ∪ B zawiera elementy należące do A lub B (lub obu), A ∩ B elementy należące do obu, A − B elementy A, które nie należą do B, a dopełnienie A′ wszystko w U, co nie należy do A. Na diagramie Venna każde wyrażenie na zbiorach jest sumą obszarów, więc zliczaj je obszar po obszarze. Włączenia i wyłączenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| oraz |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Obszary
F ∩ G: 5
F − G: 15 − 5 = 10
G − F: 32 − 5 = 27
(F ∪ G)′: 44 − (10 + 27 + 5) = 2
Odpowiedź
|(F ∪ G)′| = 2
Odpowiedź
|(F ∪ G)′| = 2
4.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: (f ∘ f)(3) = 5
Funkcje i zliczanie: funkcja f: A → B przypisuje każdemu elementowi A dokładnie jeden obraz w B. f jest różnowartościowa (injekcja), gdy różne elementy mają różne obrazy, „na” (surjekcja), gdy każdy element B jest obrazem, i wzajemnie jednoznaczna (bijekcja), gdy zachodzą oba warunki. Dla |A| = m i |B| = n jest nᵐ funkcji, n!/(n − m)! różnowartościowych (m ≤ n) oraz, z zasady włączeń i wyłączeń, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ funkcji „na”. |𝒫(A)| = 2ᵐ i |A × B| = m·n.
Funkcja wewnętrzna
f(3) = 1
Funkcja zewnętrzna
f(1) = 5
(f ∘ f)(3) = 5
Odpowiedź
(f ∘ f)(3) = 5
5.Teoria grafów
Odpowiedź: Cykl Eulera
Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.
Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.
Algorytm Kruskala
GC (4): weź
DE (6): weź
CE (7): weź
GD (9): pomiń, zamyka cykl
GE (10): pomiń, zamyka cykl
GB (11): weź
EF (12): weź
BC (16): pomiń, zamyka cykl
AB (17): weź
Łączna waga
W = 4 + 6 + 7 + 11 + 12 + 17 = 57
Odpowiedź
W = 57
7.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: 33−1 mod 61 = 37
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Rozszerzony algorytm Euklidesa
Każdą resztę r zapisujemy jako r ≡ t·33 (mod 61).
r = 61, t = 0
r = 33, q = 1, t = 1
r = 28, q = 1, t = −1
r = 5, q = 5, t = 2
r = 3, q = 1, t = −11
r = 2, q = 1, t = 13
r = 1, q = 2, t = −24
Odwrotność
1 ≡ −24·33 (mod 61)
x = 37
sprawdzenie: 33·37 = 1221 = 20·61 + 1
Odpowiedź
33−1 mod 61 = 37
8.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: N = 3
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).