Narysuj diagram Venna i rozstrzygnij obszar po obszarze, co należy do wyrażenia na zbiorach.
W zadaniach na zliczanie wypełniaj obszary od środka na zewnątrz: najpierw wszystkie zbiory, potem pary, potem pojedyncze zbiory, na końcu zewnętrze.
Użyj zasady włączeń i wyłączeń do sprawdzenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Dla relacji sprawdź każdą własność na każdej parze i podaj jeden kontrprzykład, gdy zawodzi.
Dla funkcji policz strzałki wchodzące do każdego elementu B: co najwyżej jedna oznacza różnowartościowość, co najmniej jedna – surjekcję.
Teoria grafów
Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij
Metoda
Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).
Teoria liczb i arytmetyka modularna
Dzielenie z resztą
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Najmniejsza wspólna wielokrotność
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Odwrotność
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruencja liniowa
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funkcja φ Eulera
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metoda
Najpierw zredukuj każdą liczbę modulo n; reszty leżą między 0 a n − 1.
Aby znaleźć NWD, dziel wielokrotnie algorytmem Euklidesa; ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Aby znaleźć element odwrotny, uruchom rozszerzony algorytm i zachowaj współczynnik przy a; dodaj n, jeśli jest ujemny.
Rozwiąż a·x ≡ b, mnożąc przez a⁻¹; dwie kongruencje połącz, zapisując x = r₁ + m₁k.
Przy potęgach zapisz wykładnik binarnie i wielokrotnie podnoś do kwadratu; w RSA d = e⁻¹ mod φ(n), gdzie φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Zadania do ćwiczenia
1.Rachunek zdań i dowodyŚredni
Czy (p → q) ↔ (q → p) jest tautologią, kontradykcją czy kontyngencją? Kliknij swoją odpowiedź.
(p → q) ↔ (q → p)
1tautologia
2kontradykcja
3kontyngencja
2.Rachunek zdań i dowodyTrudny
Które zdanie jest równoważne ¬∃x ∀y R(x, y), gdy negację przesunięto całkiem do środka? Kliknij je.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∃x ∃y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)
3.Zbiory, relacje i funkcjeŚredni
Spośród 68 studentów pierwszego roku matematykę (M) zaliczyło 38, fizykę (P) 37, a chemię (C) 26. M i P zaliczyło 18, M i C 16, P i C 13, a wszystkie trzy 6. Ile elementów nie należy do żadnego z trzech zbiorów?
|U| = 68
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.Zbiory, relacje i funkcjeTrudny
Ile jest bijekcji f: A → B, jeśli |A| = |B| = 5? Nazwij tę liczbę N.
|A| = 5|B| = 5
N =
5.Teoria grafówŚredni
Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 4× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?
3 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.
|V| = 5|E| = 7
W =
7.Teoria liczb i arytmetyka modularnaŚredni
Znajdź element odwrotny do 28 modulo 41: liczbę x, dla której 0 < x < 41 oraz 28·x ≡ 1 (mod 41).
a = 28n = 41
28−1 mod 41 =
8.Teoria liczb i arytmetyka modularnaTrudny
Zaszyfruj wiadomość m = 13 kluczem publicznym RSA (n, e) = (217, 17). Znajdź szyfrogram c.
n = 217e = 17m = 13
c =
3Roztwory
1.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: kontyngencja
Równoważność logiczna: dwie formuły są równoważne (≡), gdy mają tę samą wartość w każdym wierszu tablicy prawdy. Tautologia jest równa 1 w każdym wierszu, kontradykcja 0 w każdym wierszu, a formuła kontyngentna nie jest ani jednym, ani drugim. Przydatne prawa: prawa de Morgana, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b oraz ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozycja); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; oraz prawa rozdzielności, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tablica prawdy wiersz po wierszu
p = 1, q = 1: p → q = 1, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 1
p = 1, q = 0: p → q = 0, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 0
p = 0, q = 1: p → q = 1, q → p = 0, (p → q) ↔ (q → p) = 0
p = 0, q = 0: p → q = 1, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 1
Sklasyfikuj
(p → q) ↔ (q → p): 1, 0, 0, 1
1 w 2 z 4 wierszy, 0 w pozostałych: kontyngencja.
Odpowiedź
kontyngencja
2.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Kwantyfikatory i wnioskowania: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) oraz ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Przesuń negację do środka, zamień każdy kwantyfikator, który mija, i zaneguj formułę wewnętrzną prawami rachunku zdań, takimi jak ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Wnioskowanie jest poprawne, gdy wniosek jest równy 1 w każdym wierszu, w którym wszystkie przesłanki są równe 1. Pojedynczy wiersz z prawdziwymi przesłankami i fałszywym wnioskiem jest kontrprzykładem i pokazuje, że wnioskowanie jest niepoprawne.
Przesuń negację do środka
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Odpowiedź
∀x ∃y ¬R(x, y)
Pozostałe opcje albo zostawiają kwantyfikator bez zmian, albo zmieniają kolejność kwantyfikatorów, albo błędnie negują formułę wewnętrzną.
3.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: |(M ∪ P ∪ C)′| = 8
Zbiory i diagramy Venna: A ∪ B zawiera elementy należące do A lub B (lub obu), A ∩ B elementy należące do obu, A − B elementy A, które nie należą do B, a dopełnienie A′ wszystko w U, co nie należy do A. Na diagramie Venna każde wyrażenie na zbiorach jest sumą obszarów, więc zliczaj je obszar po obszarze. Włączenia i wyłączenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| oraz |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Środek i pary
M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P tylko: 18 − 6 = 12
M ∩ C tylko: 16 − 6 = 10
P ∩ C tylko: 13 − 6 = 7
Pojedyncze zbiory
M tylko: 38 − 12 − 10 − 6 = 10
P tylko: 37 − 12 − 7 − 6 = 12
C tylko: 26 − 10 − 7 − 6 = 3
Odpowiedź
|M ∪ P ∪ C| = 60
|(M ∪ P ∪ C)′| = 68 − 60 = 8
Odpowiedź
|(M ∪ P ∪ C)′| = 8
4.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: N = 120
Funkcje i zliczanie: funkcja f: A → B przypisuje każdemu elementowi A dokładnie jeden obraz w B. f jest różnowartościowa (injekcja), gdy różne elementy mają różne obrazy, „na” (surjekcja), gdy każdy element B jest obrazem, i wzajemnie jednoznaczna (bijekcja), gdy zachodzą oba warunki. Dla |A| = m i |B| = n jest nᵐ funkcji, n!/(n − m)! różnowartościowych (m ≤ n) oraz, z zasady włączeń i wyłączeń, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ funkcji „na”. |𝒫(A)| = 2ᵐ i |A × B| = m·n.
Policz
N = 5!/(5 − 5)! = 120
Odpowiedź
N = 120
5.Teoria grafów
Odpowiedź: L = 20
Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.
Lemat o uściskach dłoni dla drzewa
L + 44 = 2(L + 13) − 2
L = 20
Odpowiedź
L = 20
Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.
6.Teoria grafów
Odpowiedź: W = 32
Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.
Algorytm Kruskala
BE (3): weź
BC (4): weź
DE (8): weź
BD (12): pomiń, zamyka cykl
CE (13): pomiń, zamyka cykl
AC (17): weź
Łączna waga
W = 3 + 4 + 8 + 17 = 32
Odpowiedź
W = 32
7.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: 28−1 mod 41 = 22
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Rozszerzony algorytm Euklidesa
Każdą resztę r zapisujemy jako r ≡ t·28 (mod 41).
r = 41, t = 0
r = 28, q = 1, t = 1
r = 13, q = 2, t = −1
r = 2, q = 6, t = 3
r = 1, q = 2, t = −19
Odwrotność
1 ≡ −19·28 (mod 41)
x = 22
sprawdzenie: 28·22 = 616 = 15·41 + 1
Odpowiedź
28−1 mod 41 = 22
8.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: c = 48
Potęgi modularne i RSA: oblicz aᵏ mod n przez wielokrotne podnoszenie do kwadratu: zapisz k binarnie, podnoś do kwadratu, redukuj po każdym kroku i mnóż potęgi, których bit jest równy 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) dla liczby pierwszej p niedzielącej a, więc wykładnik można redukować modulo p − 1. RSA: wybierz liczby pierwsze p i q, n = p·q i φ(n) = (p − 1)(q − 1); wykładnik publiczny e jest względnie pierwszy z φ(n), a wykładnik prywatny to d = e⁻¹ mod φ(n). Szyfruj wzorem c = mᵉ mod n, a odszyfrowuj wzorem m = cᵈ mod n.