Narysuj diagram Venna i rozstrzygnij obszar po obszarze, co należy do wyrażenia na zbiorach.
W zadaniach na zliczanie wypełniaj obszary od środka na zewnątrz: najpierw wszystkie zbiory, potem pary, potem pojedyncze zbiory, na końcu zewnętrze.
Użyj zasady włączeń i wyłączeń do sprawdzenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Dla relacji sprawdź każdą własność na każdej parze i podaj jeden kontrprzykład, gdy zawodzi.
Dla funkcji policz strzałki wchodzące do każdego elementu B: co najwyżej jedna oznacza różnowartościowość, co najmniej jedna – surjekcję.
Teoria grafów
Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij
Metoda
Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).
Teoria liczb i arytmetyka modularna
Dzielenie z resztą
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Najmniejsza wspólna wielokrotność
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Odwrotność
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruencja liniowa
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funkcja φ Eulera
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metoda
Najpierw zredukuj każdą liczbę modulo n; reszty leżą między 0 a n − 1.
Aby znaleźć NWD, dziel wielokrotnie algorytmem Euklidesa; ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Aby znaleźć element odwrotny, uruchom rozszerzony algorytm i zachowaj współczynnik przy a; dodaj n, jeśli jest ujemny.
Rozwiąż a·x ≡ b, mnożąc przez a⁻¹; dwie kongruencje połącz, zapisując x = r₁ + m₁k.
Przy potęgach zapisz wykładnik binarnie i wielokrotnie podnoś do kwadratu; w RSA d = e⁻¹ mod φ(n), gdzie φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Zadania do ćwiczenia
1.Rachunek zdań i dowodyŚredni
Czy (c → a) ∧ (c ∧ ¬a) jest tautologią, kontradykcją czy kontyngencją? Kliknij swoją odpowiedź.
(c → a) ∧ (c ∧ ¬a)
1tautologia
2kontradykcja
3kontyngencja
2.Rachunek zdań i dowodyTrudny
Wnioskowanie z przesłankami q → (r ∨ p); q i wnioskiem r jest niepoprawne. Kliknij wiersz tablicy prawdy, który jest kontrprzykładem.
q → (r ∨ p)q∴ r
1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0
3.Zbiory, relacje i funkcjeŚredni
Relacja R na {1, 2, 3, 4} jest narysowana jako graf skierowany (pętla oznacza (x, x) ∈ R). Zachodzi dokładnie jedna z czterech własności. Kliknij ją.
Relacja równoważności R na {1, …, 10} ma klasy {5, 7, 10}, {2, 3, 4, 9}, {6}, {1, 8}. Ile par uporządkowanych zawiera R? Nazwij tę liczbę |R|.
{5, 7, 10}{2, 3, 4, 9}{6}{1, 8}
|R| =
5.Teoria grafówŚredni
Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K5? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.
K5
H =
6.Teoria grafówTrudny
Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5; pominięte krawędzie się nie liczą.
k = 5
1krawędź AB
2krawędź AC
3krawędź BC
4krawędź BD
5krawędź CE
6krawędź DE
7krawędź EF
8krawędź BE
7.Teoria liczb i arytmetyka modularnaŚredni
Znajdź element odwrotny do 15 modulo 37: liczbę x, dla której 0 < x < 37 oraz 15·x ≡ 1 (mod 37).
a = 15n = 37
15−1 mod 37 =
8.Teoria liczb i arytmetyka modularnaTrudny
Klucz RSA używa p = 19, q = 31 i e = 13. Odszyfruj szyfrogram c = 174: znajdź wiadomość m.
p = 19q = 31e = 13c = 174
m =
3Roztwory
1.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: kontradykcja
Równoważność logiczna: dwie formuły są równoważne (≡), gdy mają tę samą wartość w każdym wierszu tablicy prawdy. Tautologia jest równa 1 w każdym wierszu, kontradykcja 0 w każdym wierszu, a formuła kontyngentna nie jest ani jednym, ani drugim. Przydatne prawa: prawa de Morgana, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b oraz ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozycja); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; oraz prawa rozdzielności, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tablica prawdy wiersz po wierszu
a = 1, c = 1: c → a = 1, ¬a = 0, c ∧ ¬a = 0, (c → a) ∧ (c ∧ ¬a) = 0
a = 1, c = 0: c → a = 1, ¬a = 0, c ∧ ¬a = 0, (c → a) ∧ (c ∧ ¬a) = 0
a = 0, c = 1: c → a = 0, ¬a = 1, c ∧ ¬a = 1, (c → a) ∧ (c ∧ ¬a) = 0
a = 0, c = 0: c → a = 1, ¬a = 1, c ∧ ¬a = 0, (c → a) ∧ (c ∧ ¬a) = 0
Sklasyfikuj
(c → a) ∧ (c ∧ ¬a): 0, 0, 0, 0
0 w każdym wierszu: kontradykcja.
Odpowiedź
kontradykcja
2.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: p = 1, q = 1, r = 0
Kwantyfikatory i wnioskowania: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) oraz ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Przesuń negację do środka, zamień każdy kwantyfikator, który mija, i zaneguj formułę wewnętrzną prawami rachunku zdań, takimi jak ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Wnioskowanie jest poprawne, gdy wniosek jest równy 1 w każdym wierszu, w którym wszystkie przesłanki są równe 1. Pojedynczy wiersz z prawdziwymi przesłankami i fałszywym wnioskiem jest kontrprzykładem i pokazuje, że wnioskowanie jest niepoprawne.
Przesłanki i wniosek wiersz po wierszu
p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 1 | 0
p = 1, q = 0, r = 1: 1 0 | 1
p = 1, q = 0, r = 0: 1 0 | 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 1
p = 0, q = 1, r = 0: 0 1 | 0
p = 0, q = 0, r = 1: 1 0 | 1
p = 0, q = 0, r = 0: 1 0 | 0
Kontrprzykład
p = 1, q = 1, r = 0
Odpowiedź
p = 1, q = 1, r = 0
Wnioskowanie o tej postaci wygląda jak poprawna reguła, ale jeden wiersz wystarczy, by pokazać, że nią nie jest.
3.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: przechodnia
Relacje: relacja R na zbiorze X to zbiór par uporządkowanych (x, y). R jest zwrotna, gdy (x, x) ∈ R dla każdego x z X; symetryczna, gdy (x, y) ∈ R zawsze występuje razem z (y, x) ∈ R; antysymetryczna, gdy (x, y) i (y, x) należą do R tylko wtedy, gdy x = y; oraz przechodnia, gdy (x, y) i (y, z) w R wymuszają (x, z) ∈ R. Relacja równoważności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia i dzieli X na rozłączne klasy.
zwrotna
nie zachodzi: (2, 2) ∉ R
symetryczna
nie zachodzi: (1, 4) ∈ R, (4, 1) ∉ R
antysymetryczna
nie zachodzi: (1, 3), (3, 1) ∈ R
przechodnia
zachodzi
Odpowiedź
przechodnia
4.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: |R| = 30
Relacje: relacja R na zbiorze X to zbiór par uporządkowanych (x, y). R jest zwrotna, gdy (x, x) ∈ R dla każdego x z X; symetryczna, gdy (x, y) ∈ R zawsze występuje razem z (y, x) ∈ R; antysymetryczna, gdy (x, y) i (y, x) należą do R tylko wtedy, gdy x = y; oraz przechodnia, gdy (x, y) i (y, z) w R wymuszają (x, z) ∈ R. Relacja równoważności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia i dzieli X na rozłączne klasy.
Pary w każdej klasie
|R| = 3² + 4² + 1² + 2² = 30
Odpowiedź
|R| = 30
5.Teoria grafów
Odpowiedź: H = 12
Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.
Policz
H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12
Odpowiedź
H = 12
6.Teoria grafów
Odpowiedź: krawędź CE
Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.
Algorytm Kruskala
1. AC (1)
2. DE (4)
3. BD (5)
4. EF (6)
5. CE (15)
numer krawędzi 5
CE
Odpowiedź
krawędź CE
7.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: 15−1 mod 37 = 5
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Rozszerzony algorytm Euklidesa
Każdą resztę r zapisujemy jako r ≡ t·15 (mod 37).
r = 37, t = 0
r = 15, q = 2, t = 1
r = 7, q = 2, t = −2
r = 1, q = 7, t = 5
Odwrotność
1 ≡ 5·15 (mod 37)
x = 5
sprawdzenie: 15·5 = 75 = 2·37 + 1
Odpowiedź
15−1 mod 37 = 5
8.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: m = 534
Potęgi modularne i RSA: oblicz aᵏ mod n przez wielokrotne podnoszenie do kwadratu: zapisz k binarnie, podnoś do kwadratu, redukuj po każdym kroku i mnóż potęgi, których bit jest równy 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) dla liczby pierwszej p niedzielącej a, więc wykładnik można redukować modulo p − 1. RSA: wybierz liczby pierwsze p i q, n = p·q i φ(n) = (p − 1)(q − 1); wykładnik publiczny e jest względnie pierwszy z φ(n), a wykładnik prywatny to d = e⁻¹ mod φ(n). Szyfruj wzorem c = mᵉ mod n, a odszyfrowuj wzorem m = cᵈ mod n.
Wykładnik prywatny
n = 589, φ(n) = 540
d = 13−1 mod 540 = 457
Odszyfruj przez wielokrotne podnoszenie do kwadratu