Narysuj diagram Venna i rozstrzygnij obszar po obszarze, co należy do wyrażenia na zbiorach.
W zadaniach na zliczanie wypełniaj obszary od środka na zewnątrz: najpierw wszystkie zbiory, potem pary, potem pojedyncze zbiory, na końcu zewnętrze.
Użyj zasady włączeń i wyłączeń do sprawdzenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Dla relacji sprawdź każdą własność na każdej parze i podaj jeden kontrprzykład, gdy zawodzi.
Dla funkcji policz strzałki wchodzące do każdego elementu B: co najwyżej jedna oznacza różnowartościowość, co najmniej jedna – surjekcję.
Teoria grafów
Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij
Metoda
Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).
Teoria liczb i arytmetyka modularna
Dzielenie z resztą
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Najmniejsza wspólna wielokrotność
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Odwrotność
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruencja liniowa
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funkcja φ Eulera
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metoda
Najpierw zredukuj każdą liczbę modulo n; reszty leżą między 0 a n − 1.
Aby znaleźć NWD, dziel wielokrotnie algorytmem Euklidesa; ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Aby znaleźć element odwrotny, uruchom rozszerzony algorytm i zachowaj współczynnik przy a; dodaj n, jeśli jest ujemny.
Rozwiąż a·x ≡ b, mnożąc przez a⁻¹; dwie kongruencje połącz, zapisując x = r₁ + m₁k.
Przy potęgach zapisz wykładnik binarnie i wielokrotnie podnoś do kwadratu; w RSA d = e⁻¹ mod φ(n), gdzie φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Zadania do ćwiczenia
1.Rachunek zdań i dowodyŚredni
Czy (r ∨ p) ∧ (¬r ∧ ¬p) jest tautologią, kontradykcją czy kontyngencją? Kliknij swoją odpowiedź.
(r ∨ p) ∧ (¬r ∧ ¬p)
1tautologia
2kontradykcja
3kontyngencja
2.Rachunek zdań i dowodyTrudny
Które zdanie jest równoważne ¬∃x (A(x) → B(x)), gdy negację przesunięto całkiem do środka? Kliknij je.
¬∃x (A(x) → B(x))
1∀x (A(x) → ¬B(x))
2∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
3∀x (¬A(x) → ¬B(x))
4∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
3.Zbiory, relacje i funkcjeŚredni
W grupie 59 studentów po francusku mówi 37 (F), po niemiecku 18 (G), po hiszpańsku 23 (S). Francuski i niemiecki: 12, francuski i hiszpański: 16, niemiecki i hiszpański: 4, wszystkie trzy języki: 2. Ile elementów należy do dokładnie dwóch z trzech zbiorów? Nazwij tę liczbę n.
|U| = 59
n =
4.Zbiory, relacje i funkcjeTrudny
Na X = {1, 2, …, 15} relacja x ~ y zachodzi, gdy x ≡ y (mod 2). Ile elementów ma klasa równoważności [14]?
X = {1, …, 15}x ~ y ⟺ 2 | (x − y)
|[14]| =
5.Teoria grafówŚredni
Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.
|V| = 7|E| = 10
1Cykl Eulera
2Ścieżka Eulera, bez cyklu
3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka B. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 2.
start: Bk = 2
1krawędź AB
2krawędź AC
3krawędź BC
4krawędź BD
5krawędź CE
6krawędź DE
7krawędź BE
7.Teoria liczb i arytmetyka modularnaŚredni
Znajdź funkcję φ Eulera φ(200), czyli liczbę liczb całkowitych od 1 do 200 względnie pierwszych z 200.
n = 200 = 23·52
φ(200) =
8.Teoria liczb i arytmetyka modularnaTrudny
Ile rozwiązań N ma 8x ≡ 4 (mod 18) w zbiorze {0, 1, …, 17}?
8x ≡ 4 (mod 18)
N =
3Roztwory
1.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: kontradykcja
Równoważność logiczna: dwie formuły są równoważne (≡), gdy mają tę samą wartość w każdym wierszu tablicy prawdy. Tautologia jest równa 1 w każdym wierszu, kontradykcja 0 w każdym wierszu, a formuła kontyngentna nie jest ani jednym, ani drugim. Przydatne prawa: prawa de Morgana, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b oraz ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozycja); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; oraz prawa rozdzielności, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tablica prawdy wiersz po wierszu
p = 1, r = 1: r ∨ p = 1, ¬r = 0, ¬p = 0, ¬r ∧ ¬p = 0, (r ∨ p) ∧ (¬r ∧ ¬p) = 0
p = 1, r = 0: r ∨ p = 1, ¬r = 1, ¬p = 0, ¬r ∧ ¬p = 0, (r ∨ p) ∧ (¬r ∧ ¬p) = 0
p = 0, r = 1: r ∨ p = 1, ¬r = 0, ¬p = 1, ¬r ∧ ¬p = 0, (r ∨ p) ∧ (¬r ∧ ¬p) = 0
p = 0, r = 0: r ∨ p = 0, ¬r = 1, ¬p = 1, ¬r ∧ ¬p = 1, (r ∨ p) ∧ (¬r ∧ ¬p) = 0
Sklasyfikuj
(r ∨ p) ∧ (¬r ∧ ¬p): 0, 0, 0, 0
0 w każdym wierszu: kontradykcja.
Odpowiedź
kontradykcja
2.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
Kwantyfikatory i wnioskowania: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) oraz ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Przesuń negację do środka, zamień każdy kwantyfikator, który mija, i zaneguj formułę wewnętrzną prawami rachunku zdań, takimi jak ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Wnioskowanie jest poprawne, gdy wniosek jest równy 1 w każdym wierszu, w którym wszystkie przesłanki są równe 1. Pojedynczy wiersz z prawdziwymi przesłankami i fałszywym wnioskiem jest kontrprzykładem i pokazuje, że wnioskowanie jest niepoprawne.
Przesuń negację do środka
¬∃x (A(x) → B(x)) ≡ ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
Odpowiedź
∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
Pozostałe opcje albo zostawiają kwantyfikator bez zmian, albo zmieniają kolejność kwantyfikatorów, albo błędnie negują formułę wewnętrzną.
3.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: n = 26
Zbiory i diagramy Venna: A ∪ B zawiera elementy należące do A lub B (lub obu), A ∩ B elementy należące do obu, A − B elementy A, które nie należą do B, a dopełnienie A′ wszystko w U, co nie należy do A. Na diagramie Venna każde wyrażenie na zbiorach jest sumą obszarów, więc zliczaj je obszar po obszarze. Włączenia i wyłączenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| oraz |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Środek i pary
F ∩ G ∩ S: 2
F ∩ G tylko: 12 − 2 = 10
F ∩ S tylko: 16 − 2 = 14
G ∩ S tylko: 4 − 2 = 2
Pojedyncze zbiory
F tylko: 37 − 10 − 14 − 2 = 11
G tylko: 18 − 10 − 2 − 2 = 4
S tylko: 23 − 14 − 2 − 2 = 5
Odpowiedź
10 + 14 + 2 = 26
Odpowiedź
n = 26
4.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: |[14]| = 7
Relacje: relacja R na zbiorze X to zbiór par uporządkowanych (x, y). R jest zwrotna, gdy (x, x) ∈ R dla każdego x z X; symetryczna, gdy (x, y) ∈ R zawsze występuje razem z (y, x) ∈ R; antysymetryczna, gdy (x, y) i (y, x) należą do R tylko wtedy, gdy x = y; oraz przechodnia, gdy (x, y) i (y, z) w R wymuszają (x, z) ∈ R. Relacja równoważności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia i dzieli X na rozłączne klasy.
Klasa
[14] = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
|[14]| = 7
Odpowiedź
|[14]| = 7
5.Teoria grafów
Odpowiedź: ani jedno, ani drugie
Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.
Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.
Algorytm Prima
1. BE (1)
2. BC (2)
3. DE (3)
4. AB (5)
numer krawędzi 2
BC
Odpowiedź
krawędź BC
7.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: φ(200) = 80
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Czynniki pierwsze
200 = 23·52
Funkcja φ
φ(200) = φ(8)·φ(25) = 4·20 = 80
Odpowiedź
φ(200) = 80
8.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: N = 2
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).