Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Samochód jadący z prędkością 45 km/h hamuje ze stałym opóźnieniem 5 m/s² aż do zatrzymania. Wyznacz drogę hamowania s.
Model rakiety startuje pionowo w górę ze spoczynku. Silnik nadaje mu stałe przyspieszenie w górę 20 m/s² przez 2 s, po czym gaśnie i rakieta porusza się swobodnie. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość hmax, jaką osiąga rakieta.
Klocek o masie 10 kg zsuwa się po gładkiej równi nachylonej pod kątem 25° do poziomu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.
Klocek o masie 7,5 kg na poziomym stole jest połączony lekką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek bez tarcia z wiszącym ciężarkiem o masie 2,5 kg. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a stołem wynosi 0,1. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a układu.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 25° do poziomu z płaskiego terenu. Pomiń opór powietrza. Wyznacz odległość poziomą x pokonaną, zanim piłka uderzy w ziemię.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 15° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 35 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz odległość poziomą x pokonaną, zanim piłka uderzy w ziemię.
Samochód pokonuje płaski zakręt o promieniu 120 m. Współczynnik tarcia statycznego między oponami a jezdnią wynosi 0,3. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość vmax, z jaką samochód może pokonać zakręt bez poślizgu.
Kulka o masie 1,3 kg na nici o długości 1 m porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. W najniższym punkcie ma prędkość 4,5 m/s. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici w najniższym punkcie.
Klocek zsuwa się bez prędkości początkowej po zboczu nachylonym pod kątem 45° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,2. Wyznacz jego prędkość v po przebyciu 6 m wzdłuż zbocza.
Klocek o masie 4 kg leży na chropowatym poziomym stole (μ = 0,3). Lekka nić biegnie od niego przez gładki bloczek na krawędzi stołu do wiszącego klocka o masie 3 kg. Układ zostaje puszczony ze spoczynku. Wyznacz prędkość v klocków po opadnięciu wiszącego klocka o 3 m.
Wózek o masie 4,5 kg jadący z prędkością 8 m/s zderza się czołowo i doskonale sprężyście ze spoczywającym wózkiem o masie 4 kg na torze bez tarcia. Wyznacz prędkość v′1 pierwszego wózka po zderzeniu (dodatnią w jego pierwotnym kierunku).
Na skrzyżowaniu samochód o masie 900 kg jadący na wschód z prędkością 19 m/s zderza się z samochodem o masie 800 kg jadącym na północ z prędkością 23 m/s. Samochody się sczepiają. Wyznacz prędkość v′ wraku tuż po zderzeniu.
Koło zamachowe o momencie bezwładności 37 kg·m² wiruje z prędkością 2000 obr/min. Hamulec wywiera stały moment tarcia 70 N·m. Ile obrotów N wykona koło zamachowe, zanim się zatrzyma?
cienka obręcz rusza ze spoczynku i stacza się bez poślizgu po równi nachylonej pod kątem 25° do poziomu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jego promień wynosi 0,3 m. Znajdź prędkość kątową ω po przebyciu 2,5 m wzdłuż równi.
Dwa równoległe wały są oddalone o 126 mm. Mają być połączone parą kół zębatych walcowych o module 4 mm i przełożeniu redukującym 2,5 : 1. Ile zębów N1 musi mieć zębnik?
W przekładni dwustopniowej koło A (16 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 2900 rpm, napędza koło B (50 zębów). Koło C (15 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (40 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu nout.
Ciężarek o masie 3,6 kg na sprężynie o k = 160 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 5 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 3 cm od położenia równowagi.
Pocisk o masie 12 g lecący z prędkością 500 m/s trafia w klocek o masie 1 kg spoczywający na powierzchni bez tarcia i pozostaje w nim. Klocek jest przymocowany do poziomej sprężyny o k = 1900 N/m. Wyznacz amplitudę A powstałych drgań w cm.
W próbie drgań swobodnych tłumionego układu masa–sprężyna po maksimum przemieszczenia 30 mm po 3 cyklach następuje maksimum 1,7 mm. Wyznacz współczynnik tłumienia ζ.
Masa 25 kg wisi na dwóch sprężynach obok siebie (równolegle) o sztywnościach k₁ = 30 kN/m i k₂ = 100 kN/m. Masa pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie i masy sprężyn. Wyznacz częstotliwość drgań własnych fn w kierunku pionowym w Hz.
Odpowiedź: s = 15,63 m
Ruch ze stałym przyspieszeniem: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² i v² = v₀² + 2·a·s. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i tę szukaną, i trzymaj się znaków zgodnych z jednym kierunkiem dodatnim.
Odpowiedź: hmax = 121,5 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
W najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru.
Odpowiedź: a = 4,146 m/s²
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Kierunek w dół równi jest dodatni.
Odpowiedź: a = 1,717 m/s²
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Odpowiedź: x = 79,96 m
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Start i lądowanie na tej samej wysokości: t = 2vy/g.
Odpowiedź: x = 122 m
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Rozwiąż y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0, biorąc dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: vmax = 18,79 m/s
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Odpowiedź: T = 39,08 N
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Kierunek do środka (w górę) jest dodatni.
Odpowiedź: v = 8,16 m/s
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Klocek obniża się o d·sin θ, a tarcie zabiera μmg·cos θ·d. Masa się skraca.
Odpowiedź: v = 3,89 m/s
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Odpowiedź: v′1 = 0,4706 m/s
Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.
Rozwiązanie razem zasad zachowania pędu i energii daje te dwa wyniki.
Odpowiedź: v′ = 14,78 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Odpowiedź: N = 1845 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Odpowiedź: ω = 10,73 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Toczenie bez poślizgu: ω = v/r, a tarcie nie wykonuje pracy w punkcie styku.
Odpowiedź: N1 = 18
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Odpowiedź: nout = 348 rpm
Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.
przełożenie całkowite = 8,333 : 1
Odpowiedź: v = 0,2667 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: A = 13,68 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: ζ = 0,1506
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Odpowiedź: fn = 11,48 Hz
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sprężyny obok siebie mają to samo ugięcie, a ich siły się sumują, więc ich sztywności po prostu się dodaje: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics