Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Samochód jadący ze stałą prędkością 16 m/s mija stojący radiowóz. W tej chwili radiowóz rusza i przyspiesza jednostajnie z przyspieszeniem 3,5 m/s². Po jakim czasie radiowóz dogoni samochód? Wyznacz t.
Piłkę rzucono pionowo w górę z prędkością 16 m/s z krawędzi dachu na wysokości 15 m nad ziemią. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość hmax nad ziemią.
Klocek o masie 11 kg zsuwa się po równi nachylonej pod kątem 45° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,2. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.
Klocek o masie 1,5 kg na poziomym stole jest połączony lekką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek bez tarcia z wiszącym ciężarkiem o masie 5,5 kg. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a stołem wynosi 0,3. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a układu.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 65° do poziomu z płaskiego terenu. Pomiń opór powietrza. Wyznacz największą wysokość H, jaką osiąga piłka.
Piłkę wyrzucono z prędkością 31 m/s pod kątem 30° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 55 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Pod jakim kątem α poniżej poziomu uderza w ziemię?
Zakręt o promieniu 170 m ma przechyłkę 20°. Z jaką prędkością v samochód może go pokonać bez potrzeby jakiegokolwiek tarcia? Przyjmij g = 9,81 m/s².
Mały wózek zostaje puszczony bez prędkości początkowej na torze bez tarcia i wjeżdża w pionową pętlę o promieniu 6,5 m. Z jakiej minimalnej wysokości hmin nad dołem pętli musi wystartować, aby w najwyższym punkcie pętli nie oderwać się od toru?
Klocek o masie 2,5 kg zsuwa się na odcinku 18 m po zboczu nachylonym pod kątem 25° do poziomu, przy współczynniku tarcia kinetycznego 0,3. Wyznacz pracę Wf wykonaną przeciw tarciu.
Wózek o masie 5 kg zostaje puszczony bez prędkości początkowej z wysokości 8,4 m na gładkim torze, który przechodzi w pionową pętlę o promieniu 3 m. Wyznacz siłę nacisku N, z jaką tor działa na wózek w najwyższym punkcie pętli.
Wózek o masie 1,5 kg jadący z prędkością 9 m/s zderza się czołowo i doskonale sprężyście ze spoczywającym wózkiem o masie 5 kg na torze bez tarcia. Wyznacz prędkość v′2 drugiego wózka po zderzeniu.
Pocisk o masie 20 g zostaje wystrzelony poziomo w klocek o masie 2,5 kg zawieszony na lekkich niciach o długości 1,1 m i pozostaje w nim. Nici wychylają się maksymalnie o kąt 25° od pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość v pocisku przed uderzeniem.
Koło zamachowe o momencie bezwładności 20 kg·m² wiruje z prędkością 1100 obr/min. Hamulec wywiera stały moment tarcia 10 N·m. Jak długo t trwa zatrzymanie?
Jednorodny cienki pręt o masie 6 kg i długości 1,8 m wisi w spoczynku na gładkim przegubie w górnym końcu. Pocisk o masie 50 g, lecący poziomo z prędkością 480 m/s, uderza w pręt 1,47 m poniżej przegubu i w nim zostaje. Znajdź prędkość kątową ω pręta tuż po uderzeniu.
Silnik o mocy 4 kW pracujący z prędkością 2900 rpm napędza zębnik o 24 zębach, który zazębia się z kołem o 50 zębach. Sprawność pary kół wynosi 95%. Wyznacz moment obrotowy T1 na wale silnika.
W przekładni dwustopniowej koło A (15 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 1500 rpm, napędza koło B (36 zębów). Koło C (16 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (18 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu nout.
Astronauta na innej planecie stwierdza, że wahadło matematyczne o długości 1,5 m ma przy małych wychyleniach okres 4 s. Wyznacz przyspieszenie grawitacyjne g na tej planecie.
Ciężarek na sprężynie o k = 370 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 18 cm. Wyznacz jego energię kinetyczną K, gdy znajduje się 13 cm od położenia równowagi.
W próbie drgań swobodnych tłumionego układu masa–sprężyna po maksimum przemieszczenia 20 mm po 5 cyklach następuje maksimum 4,1 mm. Wyznacz współczynnik tłumienia ζ.
Masa 100 kg wisi na sprężynie k₃ = 40 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 20 kN/m i k₂ = 80 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych fn w kierunku pionowym w Hz.
Odpowiedź: t = 9,143 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
W tej chwili radiowóz jedzie z prędkością 2v = 32 m/s.
Odpowiedź: hmax = 28,05 m
Ruch ze stałym przyspieszeniem: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² i v² = v₀² + 2·a·s. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i tę szukaną, i trzymaj się znaków zgodnych z jednym kierunkiem dodatnim.
Odpowiedź: a = 5,549 m/s²
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Kierunek w dół równi jest dodatni.
Odpowiedź: a = 7,077 m/s²
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Odpowiedź: H = 37,68 m
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Na szczycie prędkość pionowa jest zerowa: vy² = 2gH.
Odpowiedź: α = 53,53 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energia albo v² = v₀² + 2as w kierunku pionowym.
Odpowiedź: v = 24,64 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Odpowiedź: hmin = 16,25 m
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Odpowiedź: Wf = 120 J
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Odpowiedź: N = 29,43 N
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d). Na torze kołowym siła wypadkowa skierowana do środka musi być równa mv²/r.
Wózek ledwo pokonuje pętlę, gdy h = 2,5R; wtedy N = 0 w najwyższym punkcie.
Odpowiedź: v′2 = 4,154 m/s
Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.
Rozwiązanie razem zasad zachowania pędu i energii daje te dwa wyniki.
Odpowiedź: v = 179,2 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Odpowiedź: t = 230,4 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Odpowiedź: ω = 5,355 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Siła w przegubie przechodzi przez przegub, więc podczas uderzenia nie ma tam momentu.
Odpowiedź: T1 = 13,17 N·m
Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.
Odpowiedź: nout = 555,6 rpm
Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.
przełożenie całkowite = 2,7 : 1
Odpowiedź: g = 3,701 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: K = 2,867 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: ζ = 0,05038
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Odpowiedź: fn = 2,69 Hz
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tylko k1 i k2 są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k3, więc połącz je przez odwrotności.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics