Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Samochód jadący ze stałą prędkością 27 m/s mija stojący radiowóz. W tej chwili radiowóz rusza i przyspiesza jednostajnie z przyspieszeniem 2 m/s². Po jakim czasie radiowóz dogoni samochód? Wyznacz t.
Model rakiety startuje pionowo w górę ze spoczynku. Silnik nadaje mu stałe przyspieszenie w górę 30 m/s² przez 2,5 s, po czym gaśnie i rakieta porusza się swobodnie. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Po jakim czasie od startu uderzy w ziemię? Wyznacz t.
Ciężarki o masach 6 kg i 2 kg wiszą po obu stronach lekkiego bloczka bez tarcia, połączone lekką nicią. Układ zostaje puszczony ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici.
Klocek o masie 3 kg na poziomym stole jest połączony lekką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek bez tarcia z wiszącym ciężarkiem o masie 5,5 kg. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a stołem wynosi 0,1. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 60° do poziomu z płaskiego terenu. Pomiń opór powietrza. Wyznacz największą wysokość H, jaką osiąga piłka.
Piłkę rzucono z poziomu ziemi z prędkością 19 m/s pod kątem 40° do poziomu. Ląduje, już opadając, na płaskim dachu budynku o wysokości 2 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz odległość poziomą x od punktu wyrzutu do miejsca lądowania.
Samochód pokonuje płaski zakręt o promieniu 85 m. Współczynnik tarcia statycznego między oponami a jezdnią wynosi 0,3. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość vmax, z jaką samochód może pokonać zakręt bez poślizgu.
Wózek o masie 4 kg zostaje puszczony bez prędkości początkowej z wysokości 26,4 m na torze bez tarcia i przejeżdża przez pionową pętlę o promieniu 6 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę nacisku Ntop toru na wózek w najwyższym punkcie pętli.
Kulka o masie 5 kg wisi na lekkiej nici o długości 3 m. Odchyla się ją, aż nić utworzy z pionem kąt 70°, i puszcza bez prędkości początkowej. Wyznacz siłę naciągu T nici, gdy kulka przechodzi przez najniższy punkt.
Klocek o masie 0,5 kg puszczono bez prędkości początkowej z wysokości 1 m na gładkiej rampie. Na dole przejeżdża przez szorstki poziomy pas o długości 1,5 m (μ = 0,2), a potem trafia na sprężynę (k = 800 N/m) na gładkiej powierzchni. Wyznacz maksymalne ugięcie x sprężyny.
Pocisk o masie 17 kg lecący poziomo z prędkością 9 m/s rozpada się w wybuchu na dwa odłamki poruszające się wzdłuż tej samej prostej. Odłamek o masie 3 kg leci dalej do przodu z prędkością 22 m/s. Wyznacz prędkość v′2 odłamka o masie 14 kg (dodatnią w pierwotnym kierunku).
Na skrzyżowaniu samochód o masie 1900 kg jadący na wschód z prędkością 19 m/s zderza się z samochodem o masie 1100 kg jadącym na północ z prędkością 12 m/s. Samochody się sczepiają. Wyznacz prędkość v′ wraku tuż po zderzeniu.
Jednorodny cienki pręt o masie 6 kg i długości 2 m jest zamocowany przegubowo na jednym końcu i utrzymywany poziomo. Puszczono go swobodnie ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Znajdź przyspieszenie atip wolnego końca tuż po puszczeniu.
pełny walec rusza ze spoczynku i stacza się bez poślizgu po równi nachylonej pod kątem 20° do poziomu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Znajdź jego prędkość v po przebyciu 3 m wzdłuż równi.
Silnik o mocy 4 kW pracujący z prędkością 1440 rpm napędza zębnik o 30 zębach i module 2,5 mm. Wyznacz siłę obwodową Ft działającą na zęby zębnika.
Pas otwarty łączy koło napędzające 80 mm o prędkości 1500 obr/min z kołem 500 mm; środki są oddalone o 1200 mm. Współczynnik tarcia wynosi 0,25, a siła w cięgnie czynnym nie może przekroczyć 800 N. Wyznacz największą moc P, jaką pas może przenieść bez poślizgu, w kW (pomiń efekty odśrodkowe).
Wahadło matematyczne ma długość 0,4 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz jego okres T dla małych wychyleń.
Masę 2,9 kg na sprężynie o k = 160 N/m odciągnięto o 10 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość vmax.
Masa 5 kg na sprężynie o sztywności 200 kN/m ma tłumik wiskotyczny dający współczynnik tłumienia 0,45. Wyznacz częstotliwość drgań swobodnych tłumionych fd w Hz.
Masa 20 kg wisi na dwóch sprężynach połączonych jedna pod drugą (szeregowo): górna sprężyna ma k₁ = 20 kN/m, a dolna k₂ = 80 kN/m. Pomiń tłumienie i masy sprężyn. Wyznacz częstotliwość drgań własnych fn w kierunku pionowym w Hz.
Odpowiedź: t = 27 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
W tej chwili radiowóz jedzie z prędkością 2v = 54 m/s.
Odpowiedź: t = 18,95 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Rozwiąż −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² i weź dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: T = 29,43 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Wypadkowa siła napędowa to różnica ciężarów; porusza ona całą masę.
Odpowiedź: T = 20,95 N
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Odpowiedź: H = 39,14 m
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Na szczycie prędkość pionowa jest zerowa: vy² = 2gH.
Odpowiedź: x = 33,68 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Większy pierwiastek: piłka opada.
Odpowiedź: vmax = 15,82 m/s
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Odpowiedź: Ntop = 149,1 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Zwrot do środka jest dodatni.
Odpowiedź: T = 113,6 N
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d). Na torze kołowym siła wypadkowa skierowana do środka musi być równa mv²/r.
Sprawdzenie: T = mg(3 − 2cos θ) = 113,6 N.
Odpowiedź: x = 9,265 cm
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Rampa jest gładka, więc energię zabiera tylko pas.
Odpowiedź: v′2 = 6,214 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Odpowiedź: v′ = 12,81 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Odpowiedź: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
W chwili puszczenia ω = 0, więc nie ma przyspieszenia dośrodkowego, a środek przyspiesza prosto w dół.
atip = 1,5·g dla dowolnej długości: wolny koniec spada szybciej niż upuszczony kamień.
Odpowiedź: v = 3,663 m/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Toczenie bez poślizgu: ω = v/r, a tarcie nie wykonuje pracy w punkcie styku.
Odpowiedź: Ft = 707,4 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Odpowiedź: P = 2,524 kW
Przekładnie pasowe: bez poślizgu oba koła pasowe mają tę samą prędkość obwodową v = π·d·n/60, więc n₁·d₁ = n₂·d₂, a przełożenie wynosi d₂/d₁. Poślizg s sprawia, że koło napędzane obraca się nieco wolniej: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Przenoszona moc to P = (T₁ − T₂)·v, gdzie T₁ to siła w cięgnie czynnym, a T₂ w biernym. Tarcie ogranicza stosunek sił: T₁/T₂ = eμθ, gdzie θ jest kątem opasania w radianach na mniejszym kole; dla pasa otwartego θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) przy rozstawie osi C.
Odpowiedź: T = 1,269 s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Odpowiedź: vmax = 0,7428 m/s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Odpowiedź: fd = 28,43 Hz
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Odpowiedź: fn = 4,502 Hz
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sprężyny szeregowe przenoszą tę samą siłę, a ich ugięcia się sumują, więc łączy się je przez odwrotności: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics