Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Samochód jadący ze stałą prędkością 19 m/s mija stojący radiowóz. W tej chwili radiowóz rusza i przyspiesza jednostajnie z przyspieszeniem 2,5 m/s². Po jakim czasie radiowóz dogoni samochód? Wyznacz t.
Piłkę rzucono pionowo w górę z prędkością 12 m/s z krawędzi dachu na wysokości 10 m nad ziemią. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość hmax nad ziemią.
Skrzynka o masie 5 kg jest pchana ze stałą prędkością w górę rampy nachylonej pod kątem 40° do poziomu siłą równoległą do rampy. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,4. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę pchającą F.
Klocek zostaje popchnięty tak, że zaczyna sunąć w górę rampy nachylonej pod kątem 35° z prędkością 9,5 m/s. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,15. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jak daleko d wzdłuż rampy przesunie się klocek, zanim się zatrzyma?
Piłkę wyrzucono z poziomego terenu z prędkością 30 m/s i ma ona upaść 60 m dalej. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz mniejszy z dwóch możliwych kątów wyrzutu θ.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 15° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 40 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz odległość poziomą x pokonaną, zanim piłka uderzy w ziemię.
W rotorze w wesołym miasteczku uczestnicy stoją przy ścianie pionowego walca o promieniu 2,1 m. Gdy obraca się on wystarczająco szybko, podłoga opada, a tarcie utrzymuje ich w górze. Współczynnik tarcia statycznego wynosi 0,7. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz najmniejszą prędkość kątową ω w rad/s.
Kulka o masie 1,5 kg na lekkiej nici o długości 1,4 m jest obracana po okręgu pionowym. W najniższym punkcie jej prędkość wynosi 11,5 m/s. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu Ttop nici w najwyższym punkcie.
Klocek o masie 1 kg zsuwa się na odcinku 9 m po zboczu nachylonym pod kątem 35° do poziomu, przy współczynniku tarcia kinetycznego 0,2. Wyznacz pracę Wf wykonaną przeciw tarciu.
Klocek o masie 0,5 kg puszczono bez prędkości początkowej z wysokości 2 m na gładkiej rampie. Na dole przejeżdża przez szorstki poziomy pas o długości 1 m (μ = 0,25), a potem trafia na sprężynę (k = 1500 N/m) na gładkiej powierzchni. Wyznacz maksymalne ugięcie x sprężyny.
Pocisk o masie 15 g zostaje wystrzelony poziomo w drewniany klocek o masie 3,5 kg zawieszony na lekkich niciach i pozostaje w nim. Klocek wychyla się, aż znajdzie się 7 cm wyżej niż na początku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość v pocisku przed uderzeniem.
Piłka o masie 0,6 kg uderza w ścianę z prędkością 21 m/s i odbija się prosto do tyłu z prędkością 17 m/s. Kontakt trwa 20 ms. Wyznacz wartość popędu J, który ściana przekazuje piłce.
Koło zamachowe o momencie bezwładności 2 kg·m² wiruje z prędkością 1600 obr/min. Hamulec wywiera stały moment tarcia 30 N·m. Ile obrotów N wykona koło zamachowe, zanim się zatrzyma?
pełny walec rusza ze spoczynku i stacza się bez poślizgu po równi nachylonej pod kątem 40° do poziomu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jego promień wynosi 0,3 m. Znajdź prędkość kątową ω po przebyciu 2,5 m wzdłuż równi.
Ślimak o liczbie zwojów 2 obraca się z prędkością 2900 rpm i napędza ślimacznicę o 50 zębach. Wyznacz prędkość obrotową nw ślimacznicy.
W przekładni dwustopniowej koło A (45 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 1500 rpm, napędza koło B (50 zębów). Koło C (32 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (40 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu nout.
Wahadło matematyczne ma długość 1,3 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz jego okres T dla małych wychyleń.
Ciężarek o masie 2,4 kg zostaje przymocowany do dolnego końca nierozciągniętej pionowej sprężyny o k = 430 N/m i puszczony ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największe wydłużenie xmax sprężyny w cm.
Masa 20 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 40 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 890 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.
Masa 5 kg wisi na dwóch sprężynach połączonych jedna pod drugą (szeregowo): górna sprężyna ma k₁ = 100 kN/m, a dolna k₂ = 25 kN/m. Wyznacz sztywność zastępczą keq układu sprężyn w kN/m.
Odpowiedź: t = 15,2 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
W tej chwili radiowóz jedzie z prędkością 2v = 38 m/s.
Odpowiedź: hmax = 17,34 m
Ruch ze stałym przyspieszeniem: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² i v² = v₀² + 2·a·s. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i tę szukaną, i trzymaj się znaków zgodnych z jednym kierunkiem dodatnim.
Odpowiedź: F = 46,56 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Stała prędkość: siły się równoważą.
Odpowiedź: d = 6,605 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Obie siły są skierowane w dół zbocza; masa się skraca.
Odpowiedź: θ = 20,42 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Drugie rozwiązanie to 90° − θ = 69,58°.
Odpowiedź: x = 104,2 m
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Rozwiąż y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0, biorąc dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: ω = 2,583 rad/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Odpowiedź: Ttop = 68,12 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną na wysokości 2r.
Siła naciągu i siła ciężkości są skierowane w dół, do środka.
Odpowiedź: Wf = 14,46 J
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Odpowiedź: x = 10,7 cm
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Rampa jest gładka, więc energię zabiera tylko pas.
Odpowiedź: v = 274,6 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Odpowiedź: J = 22,8 N·s
Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.
Odpowiedź: N = 148,9 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Odpowiedź: ω = 15,28 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Toczenie bez poślizgu: ω = v/r, a tarcie nie wykonuje pracy w punkcie styku.
Odpowiedź: nw = 116 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Odpowiedź: nout = 1080 rpm
Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.
przełożenie całkowite = 1,389 : 1
Odpowiedź: T = 2,287 s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Odpowiedź: xmax = 10,95 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: ζ = 0,4975
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.
Odpowiedź: keq = 20 kN/m
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sprężyny szeregowe przenoszą tę samą siłę, a ich ugięcia się sumują, więc łączy się je przez odwrotności: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics